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《高等数学 线性代数 习题答案第六章.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第六章习题6-11.利用定积分定义计算由抛物线y=x2+1,直线x=a，x=b及x轴所围成的图形的面积.解因y=x2+1在[a,b]上连续,所以x2+1在[a,b]上可积,从而可特殊地将[a,b]n等分,并取,于是故面积2.利用定积分的几何意义求定积分：(1);(2)（a＞0）.解(1)根据定然积分的几何意义知,表示由直线y=2x,x=0,x=1及x轴所围的三角形的面积,而此三角形面积为1,所以=1.(2)根据定积分的几何意义知,表示由曲线及x轴所围成的圆的面积,而此圆面积为,所以.3.根据定积分的性质，比较积分值的大小：(1)与；(2)与.解(1)∵
2、当时,,即,又,所以.(2)令,因,所以,从而,说明,又1+x.所以.4.估计下列各积分值的范围：(1)；(2);(3)（a＞0)；(4).解(1)在区间[1,4]上,函数是增函数,故在[1,4]上的最大值,最小值,所以,即.(2)令,则,当时,,从而在上是增函数,从而f(x)在上的最大值,最小值,所以即.(3)令,则,令得驻点x=0,又，,a>0时,,故在[-a,a]上的最大值M=1,最小值,所以.(4)令,则,令得驻点,又,从而在[0,2]上的最大值,最小值,所以,而,故.习题6-21.求下列导数：(1);(2)；(3);(4)(x＞0).解2.求
3、下列极限：(1);(2);(3).解3.求由方程所确定的隐函数y=y(x)的导数.解方程两边对x求导数得:,.又由已知方程有,即即,于是有.4.当x为何值时，I(x)=有极值?解,令得驻点,又,所以当x=0时,I(x)有极小值,且极小值为I(0)=0.5.计算下列定积分：(1);(2);(3),其中(4).解(4)由于,于是6.已知f(x)连续，且f(2)=3,求.解.习题6-31.计算下列积分：(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7);(8);(9);(10);(11);(12).解(7)令x=tant,则dx=sec2tdt,当x=1
4、时,;当时,,于是.(8)令,则,当x=0时,t=0;当时,,于是.(9)令,则,当时,;当时,,于是.(11)令,则,当x=1时,t=1;当x=2,t=;于是2.利用被积函数的奇偶性计算下列积分值：(1)(a为正常数)；(2);(3).解是奇函数..是奇函数.是偶函数.3.证明下列等式：(1)(a为正整数)；(2)证明：(x＞0)；(3)设f(x)是定义在(-∞，+∞)上的周期为T的连续函数，则对任意a∈［－∞，＋∞），有.证(1)令x2=t,则,当x=0时,t=0;当x=a时,t=a2,于是即.(2)令则,即.(3)由于,而故有.4.若f(t)是连
5、续函数且为奇函数，证明是偶函数；若f(t)是连续函数且为偶函数，证明是奇函数.证令.若f(t)为奇函数,则f(-t)=-f(t),从而,所以是偶函数.若f(t)为偶函数,则f(-t)=f(t),从而,所以是奇函数.5.设f(x)在(-∞，+∞)内连续，且F(x)=,试证：若f(x)单调不减，则F(x)单调不增.证,其中在x与0之间.当x>0时,x>,由f(x)单调不减有,即;当x<0时,>x,由f(x)单调不减有,即;综上所述知F(x)单调不增.习题6-41.利用分部积分公式证明：.证令则,则即等式成立.2.计算下列定积分：(1);(2);(3);(4
6、);(5);(6);(7);(8)；(9);(10).解(1).故.故.3.已知f(2)=,f′(2)=0,,求.解习题6-51.求由下列曲线所围成的平面图形的面积：(1)y=ex与直线x=0及y=e;(2)y=x3与y=2x;(3)y=x2,4y=x3;(4)y=x2与直线y=x及y=2x;(5)y=,x轴与直线y=x及x=2;(6)y=(x-1)(x-2)与x轴；(7)y=ex,y=e-x与直线x=1;(8)y=lnx,y轴与直线y=lna,y=lnb,.解(1)可求得y=ex与y=e的交点坐标(1,e),y=ex与x=0的交点为(0,1),它们所
7、围成的图形如图6-1中阴影部分,其面积图6-1图6-2(2)解方程组得即三次抛物线和直线的交点坐标分别为(0,0),,它们所围成的图形的面积.(3)解方程得两曲线的交点为(0,0),(4,16),所求面积为.图6-3图6-4(4)可求得与的交点为(0,0),(1,1);与的交点为(0,0),(2,4);y=x与y=2x的交点为(0,0),它们所围图形如图6-4中阴影所示,其面积为:(5)与的交点为(1,1),,x轴与直线x=1,及x=2所围成的图形如图6-5阴影所示,其面积:.图6-5图6-6(6),顶点坐标为,与x轴所围成的图形如图6-6中阴影所示,
8、由得.所求面积(7)可求得曲线与的交点(0,1),曲线,与x=1所围成的图形如图6-7阴影所示
