高等数学期末总结.doc

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1、高等数学（上）期末总结1．极限求极限的方法1)利用极限的四则运算法则2利用极限存在准则3利用关于无穷小量的定理（如有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量等）（这个知识点每年必考）4利用极限存在的充要条件（这个知识点适用于三种情形：“分段函数、绝对值函数和指数函数）5利用等价无穷小代换定理（要熟记八对等价无穷小）6利用函数的连续性7利用恒等变形8利用两个重要极限及一些常用的极限①②或③④⑤2)利用洛比达法则求极限①在极限式子中，如果出现非零的极限因子，则用极限的乘法把它分离出去，然后使用洛比达法则，可使计算变得简单.②在未定型中,如果能用简单的等价无穷小替换,则先替

2、换,然后应用洛比达法则,可使求导计算简单.3)利用导数定义凡已知函数可导或在某一点可导求此式极限时,一般考虑用导数的定义,如已知在处可导,则此式的极限问题的关键是将所求比式的极限转化为上述其中的一种形式,注意自变量的改变量的表达式多样性即可.（有时为有时为或等）例1.求例2.求（洛必达）（注意到，故非零因子的极限可以提前拿到极限号外面去，这是个重要的简化技巧）（洛必达类似的题再举一个：例3．求解:原式=（注意到及，但要注意上式中的不可用来代替，为什么？）（注意倒数第二步用到例4.求解:原式（注意上式用到及）例5.求解：原式=（关于三角函数，三个“1”和两个倍角公

3、式必须记住，最好还要记住加法公式及和差化积，积化和差公式）.例6．求解：由于，故原式=例7．求解：原式=例8．若存在，且，求解：两边求极限可得，则可得，故例9．若，求解：（这里用到一个重要结论：若为常数，也可以为0），且则考试必考）由题意知，，则；故例10．解：例11．求解：（此题考察数列极限存在的夹逼准则）由于，而，，由夹逼定理知，原式=.例12．已知，求解：原式例13．设在处连续，求的值.解：由于在处连续，则（洛必达）例14．若在处连续，求的值.解：（此题考察可导必连续的知识点，考试必考）由于在处连续，则故2．导数(微分)及其应用（1）讨论分段函数在分界点处

4、的可导性，必须用导数定义情形一设，讨论点的可导性由于分界点处左、右两侧所对应的函数表达式不同，按导数的定义，需分别求，.当=时，在可导，且=；当时，在不可导.情形二设，讨论点的可导性.由于分界点在处左、右两侧所对应的函数表达式相同，按导数的定义，.（2）若讨论分段函数在定义域内的可导性，由于非分界点处的可导性显然，只需用定义讨论其分界点处的可导性即可.（3）因为可导的必要条件是连续，所以在做这类题目时，可首先观察分界点处的连续性，若不连续则必不可导，若在该点连续，则按（1）中的方法讨论其可导性.（4）计算复合函数的导数，关键是弄清复合函数的构造，即该函数是由哪些

5、基本初等函数或简单函数经过怎样的过程复合而成的，求导时要按复合次序由外向内一层一层求导，直至对自变量求导数为止.（5）对于抽象函数的求导，关键是记号的意义，如对而言，表示对自变量的导数，而表示对中间变量的导数，故（6）对数求导法常用于对下面两类函数求导：①形如的幂指函数；②由乘除、乘方、开方混合运算所构成的函数.（7）欲求由方程所确定的隐函数的一阶导数，有下面三种方法：①要把方程中的看作自变量，而将视为的函数，方程中关于的函数便是的复合函数.用复合函数的求导法则，便可得到关于的一次方程，从中解出即为所求.②利用微分的四则运算和一阶微分形式不变性求解.③用公式求解

6、.（8）由参数方程所确定的函数的一阶导数一般都是参变量的函数，而所求函数的二阶导数是再对求导，事实上是一种复合函数求导问题.复合关系图为.故.（9）变限函数的导数.①，②，③.（注意：）例1．设，其中，求.解：（因为，而且）例2．设，在可导，求的值.解：因为在处可导，从而在处也连续.又因为；故再由于在处可导，则又所以，.例3．设，求.解：所以，例4．设，求.解：例5．，求.解：所以，例6．设，其中且存在，求.解：例7．设由方程所确定，求.解：方程两边对求导得：不必整理出的表达式，直接让代入上式，得.例8．设由方程所确定，求.解：方程两边对求导得：让代入上式，得=

7、.例9．设为连续函数，且，求.解：例10．求.解：注意到，由于积分变量为，故在积分中为常数，可以提到积分号的外面去.由于，所以=例11．设为连续函数，求解：由于，所以，例12．求解：由于，所以.（被积函数中含有参数，要么能提到积分号面去，要么能通过变量替换，使之化为变限函数）.例13．设由方程组所确定，求解：方程两边关于求导，得：故又所以，当时，由方程，得：故例14．设函数由方程所确定，求曲线在点处的法线方程.解：方程两边对求导得：将代入得，故在点处的法线方程为：.即：例15．求曲线在点处的切线方程.解：当时，，故曲线在点处的切线方程为即：例16．，求.解：，所

8、以，例17．设，求例18