高考专题突破四高考中立体几何问题.doc

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1、高考专题突破四　高考中的立体几何问题【考点自测】1．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC的中点，E为A1C1的中点，则DE与平面A1B1BA的位置关系为(　　)A．相交B．平行C．垂直相交D．不确定答案　B解析　如图取B1C1的中点为F，连接EF，DF，则EF∥A1B1，DF∥B1B，且EF∩DF＝F，A1B1∩B1B＝B1，∴平面EFD∥平面A1B1BA，∴DE∥平面A1B1BA.2．设x，y，z是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x，y，z均为直线；②x，y是直线，z是平面；③z是直线，x，y是平面；④x，y，z均为平面．其中使“x⊥

2、z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是(　　)A．③④B．①③C．②③D．①②答案　C解析　由正方体模型可知①④为假命题；由线面垂直的性质定理可知②③为真命题．3．(2018届辽宁凌源二中联考)已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为(　　)A．2＋B.＋πC．2＋D.＋π答案　D解析　结合三视图可知，该几何体是一个半圆柱与一个底面是等腰直角三角形的三棱锥组成的组合体，其体积为V＝××2×1×2＋×π×12×2＝＋π，故选D.4．(2017·天津滨海新区模拟)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把

3、△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD⊥AC；②△BAC是等边三角形；③三棱锥D－ABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的是(　　)A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④答案　B解析　由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确；由①知④错．故选B.5．(2017·沈阳调研)设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同的直线，有下列三个条件：①a∥γ，b

4、⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________．(把所有正确的序号填上)答案　①或③解析　由线面平行的性质定理可知，①正确；当b∥β，a⊂γ时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.题型一　求空间几何体的表面积与体积例1　(2018届衡水联考)如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1＝2，点D为AB的中点．(1)证明：AC1∥平面B1CD；(2)求三棱锥A1—C

5、DB1的体积．(1)证明　连接BC1交B1C于点O，连接OD.在三棱柱ABC—A1B1C1中，四边形BCC1B1是平行四边形，∴点O是BC1的中点．∵点D为AB的中点，∴OD∥AC1.又OD⊂平面B1CD，AC1⊄平面B1CD，∴AC1∥平面B1CD.(2)解　∵AC＝BC，AD＝BD，∴CD⊥AB.在三棱柱ABC—A1B1C1中，由AA1⊥平面ABC，得平面ABB1A1⊥平面ABC.又平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，CD⊂平面ABC，∴CD⊥平面ABB1A1，∵AC⊥BC，AC＝BC＝2，∴AB＝A1B1＝2，CD＝，＝××2×2×＝.思维升华(

6、1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积．(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．跟踪训练1　(2018·乌鲁木齐质检)正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切(如图)．求：(1)这个正三棱锥的表面积；(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积．解　(1)底面正三角形中心到一边的距离为××2＝，则正棱锥侧面的斜高为

7、＝，∴S侧＝3××2×＝9，∴S表＝S侧＋S底＝9＋××(2)2＝9＋6.(2)设正三棱锥P－ABC的内切球球心为O，连接OP，OA，OB，OC，而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.∴V三棱锥P－ABC＝V三棱锥O－PAB＋V三棱锥O－PBC＋V三棱锥O－PAC＋V三棱锥O－ABC＝S侧·r＋S△ABC·r＝S表·r＝(3＋2)r.又VP－ABC＝×××(2)2×1＝2，∴(3＋2)r＝2，得r＝＝＝－2.∴S内切球＝4π(－2)2＝(40－16)π.V内切球＝π(－2)3＝(9－22)π.题型二　空间点、线、面的位置关系例2(2017·广州五

8、校联考)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，PA＝PD，∠BAD＝60°，E是A