高考数学讲义2.2 函数的单调性与最值.doc

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1、§2.2　函数的单调性与最值最新考纲考情考向分析1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有选择、填空题，又有解答题.1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1

2、区间D上是增函数当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M存在x0∈I

3、，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值知识拓展函数单调性的常用结论(1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，>0⇔f(x)在D上是增函数，<0⇔f(x)在D上是减函数．(2)对勾函数y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]．(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R

4、上的函数f(x)，有f(－1)

5、24．[P44A组T9]若函数f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________．答案　(－∞，2]解析　由题意知，[2，＋∞)⊆[m，＋∞)，∴m≤2.题组三　易错自纠5．函数y＝的单调递减区间为________．答案　(2，＋∞)6．若函数f(x)＝

6、2x＋a

7、的单调增区间是[3，＋∞)，则a的值为________．答案　－6解析　由图象(图略)易知函数f(x)＝

8、2x＋a

9、的单调增区间是，令－＝3，得a＝－6.7．函数f(x)＝的最大值为________．答案　2解析　当

10、x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x＜1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.题型一　确定函数的单调性(区间)命题点1　给出具体解析式的函数的单调性典例(1)(2017·全国Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)答案　D解析　由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2.设t＝x2－2x－8，则y＝lnt为增函数．要求

11、函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间．∵函数t＝x2－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)，∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D.(2)函数y＝－x2＋2

12、x

13、＋3的单调递减区间是__________________．答案　[－1,0]，[1，＋∞)解析　由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x<0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，二次函数的图象如图．由图象可知，函数y＝－x2＋2

14、x

15、＋3的单调递减区间为[－1,0]，[1，＋∞

16、)．命题点2　解析式含参数的函数的单调性典例判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中1＜a＜3)在[1,2]上的单调性．解　函数f(x)＝ax2＋(1