线性代数知识点总结(第5章).doc

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1、线性代数知识点总结（第5章）（一）矩阵的特征值与特征向量1、特征值、特征向量的定义：设A为n阶矩阵，如果存在数λ及非零列向量α，使得Aα=λα，称α是矩阵A属于特征值λ的特征向量。2、特征多项式、特征方程的定义：

2、λE-A

3、称为矩阵A的特征多项式（λ的n次多项式）。

4、λE-A

5、=0称为矩阵A的特征方程（λ的n次方程）。注:特征方程可以写为

6、A-λE

7、=03、重要结论：（1）若α为齐次方程Ax=0的非零解，则Aα=0·α，即α为矩阵A特征值λ=0的特征向量（2）A的各行元素和为k，则(1，1，…，1)T为

8、特征值为k的特征向量。（3）上（下）三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素。△4、总结：特征值与特征向量的求法（1）A为抽象的：由定义或性质凑（2）A为数字的：由特征方程法求解5、特征方程法：（1）解特征方程

9、λE-A

10、=0，得矩阵A的n个特征值λ1，λ2，…，λn注：n次方程必须有n个根(可有多重根，写作λ1=λ2=…=λs=实数，不能省略)（2）解齐次方程（λiE-A）=0，得属于特征值λi的线性无关的特征向量，即其基础解系（共n-r（λiE-A）个解）6、性质：（1）不同特征值的特征向量线性无

11、关（2）k重特征值最多k个线性无关的特征向量1≤n-r（λiE-A）≤ki（3）设A的特征值为λ1，λ2，…，λn，则

12、A

13、=Πλi，Σλi=Σaii（4）当r（A）=1，即A=αβT，其中α，β均为n维非零列向量，则A的特征值为λTT1=Σaii=αβ=βα，λ2=…=λn=0（5）设α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，则Af（A）ATA-1A*P-1AP（相似）λf（λ）λλ-1

14、A

15、λ-1λαα/ααP-1α（二）相似矩阵7、相似矩阵的定义：设A、B均为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P使得B=P-1AP

16、，称A与B相似，记作A~B8、相似矩阵的性质（1）若A与B相似，则f（A）与f（B）相似（2）若A与B相似，B与C相似，则A与C相似（3）相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹（即主对角线元素之和）【推广】（4）若A与B相似，则AB与BA相似，AT与BT相似，A-1与B-1相似，A*与B*也相似（三）矩阵的相似对角化9、相似对角化定义：如果A与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=Λ=，称A可相似对角化。注：Aαi=λiαi（αi≠0，由于P可逆），故P的每一列均为矩阵A

17、的特征值λi的特征向量10、相似对角化的充要条件（1）A有n个线性无关的特征向量（2）A的k重特征值有k个线性无关的特征向量11、相似对角化的充分条件：（1）A有n个不同的特征值（不同特征值的特征向量线性无关）（2）A为实对称矩阵12、重要结论：（1）若A可相似对角化，则r（A）为非零特征值的个数，n-r（A）为零特征值的个数（2）若A不可相似对角化，r（A）不一定为非零特征值的个数（四）实对称矩阵13、性质（1）特征值全为实数（2）不同特征值的特征向量正交（3）A可相似对角化，即存在可逆矩阵P使得P-

18、1AP=Λ（4）A可正交相似对角化，即存在正交矩阵Q，使得Q-1AQ=QTAQ=Λ