2020届新高考数学二轮微专题突破09 圆锥曲线中的定点(解析版).docx

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1、专题09圆锥曲线中的定点、定值问题一、题型选讲题型一圆锥曲线中过定点问题圆锥曲线中过定点问题常见有两种解法:(1)、求出圆锥曲线或直线的方程解析式,研究解析式,求出定点·(2)、从特殊位置入手,找出定点,在证明该点符合题意(运用斜率相等或者三点共线)。例1、(2019苏北三市期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且右焦点到右准线l的距离为1.过x轴上一点M(m,0)(m为常数,且m∈(0,2))的直线与椭圆C交于A,B两点,与l交于点P,D是弦AB的中点,直线OD与l交于点Q.(1)求椭圆C的标准方

2、程.(2)试判断以PQ为直径的圆是否经过定点.若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.第(2)问中先要求出P,Q点,写出圆的方程(直径式),然后,即令斜率k的系数为零,常数项也为零,得出关于x,y的方程可得定点.审题注意题中m是常数,而非变量.规范解答(1)由题意,得,解得所以a2=2,b2=1,所以椭圆C的标准方程为+y2=1.(4分)(2)解法1由题意,当直线AB的斜率不存在或为零时显然不符合题意,所以可设直线AB的斜率为k,则直线AB的方程为y=k(x-m).15/15又准线方程为x=2,所以点P的坐标为P(2,k(2-m)).(6分)

3、由得,x2+2k2(x-m)2=2,即(1+2k2)x2-4k2mx+2k2m2-2=0,所以xA+xB=,则xD=·=,yD=k=-,(8分)所以kOD=-,从而直线OD的方程为y=-x(也可用点差法求解),所以点Q的坐标为Q.(10分)所以以P,Q为直径的圆的方程为(x-2)2+=0,即x2-4x+2+m+y2-]y=0.(14分)因为该式对∀k≠0恒成立,令y=0,得x=2±,所以以PQ为直径的圆经过定点.(16分)解法2由题意,当直线AB的斜率不存在或为零时显然不符合题意.直线l:x=2.设直线AB的方程为x=ny+m,则P.(6分

4、)设A(x1,y1),B(x2,y2),则D.(8分)联立得(n2+2)y2+2nmy+m2-2=0,Δ=8(n2-m2+2)>0,y1+y2=,x1+x2=n(y1+y2)+2m=,故D.(10分)所以kOD=-,直线OD:y=-x,故Q(2,-n),则PQ中点为,PQ2=2,所以以P,Q为直径的圆的方程为(x-2)2+2=,(14分)15/15整理得(x-2)2+y2+m-2+y=0,令y=0,解得x=2±,所以以PQ为直径的圆经过定点(2±,0).(16分)圆锥曲线综合题要立足直线和曲线的位置关系,弄清楚交点问题.确定好思路后设点或者设

5、线,然后按部就班书写计算过程,平实复习时候要注重计算能力的提高,考试才能算得顺利准确.例2、(2018苏州期末)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆上动点P到一个焦点的距离的最小值为3(-1).(1)求椭圆C的标准方程;(2)已知过点M(0,-1)的动直线l与椭圆C交于A,B两点,试判断以线段AB为直径的圆是否恒过定点,并说明理由.(1)椭圆上动点P(x0,y0)到左、右焦点的距离的最小值为a-c.(2)先根据直径AB竖直和水平两种情况,猜出定点可能为D(0,3),再考虑·是否为零.规范解答(1)由题意,得解

6、得所以b2=a2-c2=9.(4分)椭圆C的标准方程是+=1.(6分)(2)当直线l的斜率不存在时,以AB为直径的圆的方程为x2+y2=9;(7分)当直线l的斜率为零时,以AB为直径的圆的方程为x2+(y+1)2=16.(8分)这两圆仅有唯一公共点,也是椭圆的上顶点D(0,3).猜想以AB为直径的圆恒过定点D(0,3).(9分)证明如下:证法1(向量法)设直线l的方程为y=kx-1,A(x1,y1),B(x2,y2).只要证·=x1x2+(y1-3)(y215/15-3)=x1x2+(kx1-4)(kx2-4)=0即可.即要证·=(1+k2)

7、x1x2-4k(x1+x2)+16=0.(11分)由消去y,得(1+2k2)x2-4kx-16=0,Δ=16k2+64(1+2k2)>0,此方程总有两个不等实根x1,x2.x1,2=,所以x1+x2=,x1x2=.(14分)所以·=(1+k2)x1x2-4k(x1+x2)+16=-+16=0.所以DA⊥DB,所以以AB为直径的圆恒过定点D(0,3).(16分)证法2(斜率法)若设DA,DB的斜率分别为k1,k2,只要证k1k2=-1即可.设直线l的斜率为λ,则=λ.由点A在椭圆x2+2y2=18上,得x+2y=18,变形得·=-,即k1·=-

8、.设yA+3=m(yA-3)+n(yA+1),可得m=-,n=,得=λ-k1.从而k1(3λ-k1)=-1,即k-3λk1-1=0.同理k-3λk2-1=0,所以k

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