2020届新高考数学二轮微专题突破07 圆锥曲线中的直线(解析版).docx

《2020届新高考数学二轮微专题突破07 圆锥曲线中的直线(解析版).docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、专题07圆锥曲线中的直线（线段）的问题解析几何题的解题思路一般很容易觅得，实际操作时，往往不是因为难于实施，就是因为实施起来运算繁琐而被卡住，最终放弃此解法，因此方法的选择特别重要．从思想方法层面讲，解决解析几何问题主要有两种方法：一般的，设线法是比较顺应题意的一种解法，它的参变量较少，目标集中，思路明确；而设点法要用好点在曲线上的条件，技巧性较强，但运用的好，解题过程往往会显得很简捷．对于这道题，这两种解法差别不是很大，但对于有些题目，方法选择的不同，差别会很大，因此要注意从此题的解法中体会设点法和设

2、线法的不同．一、题型选讲题型一圆锥曲线中的线段的关系例1、(2019南京学情调研）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且直线l：x＝2被椭圆E截得的弦长为2.与坐标轴不垂直的直线交椭圆E于P，Q两点，且PQ的中点R在直线l上．点M(1，0)．(1)求椭圆E的方程；(2)求证：MR⊥PQ.规范解答(1)因为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，所以e2＝＝1－＝，即a2＝2b2.(2分)因为直线l：x＝2被椭圆E截得的弦长为2，所以点(2，1)在椭圆上，即＋＝1.解得a2＝6

3、，b2＝3，29/29所以椭圆E的方程为＋＝1.(6分)(2)解法1(设线法)　因为直线PQ与坐标轴不垂直，故设PQ所在直线的方程为y＝kx＋m.设P(x1，y1)，Q(x2,y2).因为PQ的中点R在直线l：x＝2上，故R(2，2k＋m)．联立方程组消去y，并化简得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0,(9分)所以x1＋x2＝.由x1＋x2＝＝4，得1＋2k2＝－km.(12分)因为M(1，0)，故kMR＝＝2k＋m，所以kMR·kPQ＝(2k＋m)k＝2k2＋km＝2k2－(1＋2k2)＝－

4、1，所以MR⊥PQ.(16分)解法2(设点法)设P(x1，y1)，Q(x2,y2)．因为PQ的中点R在直线l：x＝2上，故设R(2，t)．因为点P，Q在椭圆E：＋＝1上，所以两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＋2(y1＋y2)(y1－y2)＝0.(9分)因为线段PQ的中点为R，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2t.代入上式并化简得(x1－x2)＋t(y1－y2)＝0.(12分)又M(1，0)，所以·＝(2－1)×(x2－x1)＋(t－0)×(y2－y1)＝0，因此MR⊥PQ.(16分)29/29用代

5、数法处理圆锥曲线综合题的常见方法有两种：设点法、设线法．对于本题而言，两种方法都可以，解题时把“设线法”与“直线斜率乘积为－1”结合，把“设点法”与“向量的数量积为0”结合，其实颠倒一下也可行．例2、(2016南京三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点(2,1)在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与圆O：x2＋y2＝2相切，与椭圆C相交于P，Q两点.①若直线l过椭圆C的右焦点F，求△OPQ的面积；②求证：OP⊥OQ.(1)由e＝＝，得a∶b∶c＝

6、∶1∶1，用b表示a更方便；(2)①设直线l的方程为y＝k(x－)，由直线l与圆O相切可先求出k，再求出PQ的长即可．②设l：y＝kx＋m，则只要证·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0.联列直线与椭圆方程可得x1＋x2，x1x2均可用k，m表示．由直线l与圆O相切，可得k与m的关系式．规范解答(1)由题意，得＝，＋＝1，解得a2＝6，b2＝3.所以椭圆的方程为＋＝1.(2分)(2)①解法1椭圆C的右焦点F(，0)．设切线方程为y＝k(x－)，即kx－y－k＝0，所以＝，解得

7、k＝±，所以切线方程为y＝±(x－)．当k＝时，(4分)29/29由方程组解得或所以点P，Q的坐标分别为，，，，所以PQ＝.(6分)因为O到直线PQ的距离为，所以△OPQ的面积为.因为椭圆的对称性，当切线方程为y＝－(x－)时，△OPQ的面积也为.综上所述，△OPQ的面积为.(8分)解法2椭圆C的右焦点F(，0)．设切线方程为y＝k(x－)，即kx－y－k＝0，所以＝，解得k＝±，所以切线方程为y＝±(x－)．当k＝时，(4分)把切线方程y＝(x－)代入椭圆C的方程，消去y得5x2－8x＋6＝0.设P(

8、x1，y1)，Q(x2，y2)，则有x1＋x2＝.由椭圆定义可得，PQ＝PF＋FQ＝2a－e(x1＋x2)＝2×－×＝.(6分)因为O到直线PQ的距离为，所以△OPQ的面积为.因为椭圆的对称性，当切线方程为y＝－(x－)时，△OPQ的面积为.综上所述，△OPQ的面积为.(8分)②解法1(i)若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为x＝或x＝－.当x＝时，P(，)，Q(，－)．29/29因为·＝0，所以OP⊥OQ.当x＝－时，同理可得OP⊥