2020届新高考数学二轮微专题突破06 圆锥曲线中的离心率的问题(解析版).docx

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1、专题06圆锥曲线中的离心率的问题一、题型选讲题型一求离心率的值求离心率的值关键是找到等式关系，解出a与c的关系，进而求出离心率。常见的等式关系主要有：1、题目中给出等式关系；2、通过几何关系如垂直或者夹角的关系得出等式关系；3、挖掘题目中的等式关系。例1、(2017苏北四市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B1，B2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点．若B2F⊥AB1，则椭圆C的离心率是________．【答案】　【解析】因为F(c,0)，B2(0，b)，B1(0，－b)，A(a,0)，所以＝(c，－b)，＝(a，b)．因为F

2、B2⊥AB1，所以ac－b2＝0，即c2＋ac－a2＝0，故e2＋e－1＝0，解得e＝(负值舍去)．例2、(2017苏北四市摸底）如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上、下顶点分别为A，B，右焦点为F，点P在椭圆C上，且OP⊥AF.(1)若点P坐标为(，1)，求椭圆C的方程；(2)延长AF交椭圆C于点Q，若直线OP的斜率是直线BQ的斜率的2倍，求椭圆C的离心率；思路分析第(1)问根据条件求出a，b，c的值，从而可得椭圆的方程；第(2)问根据条件转化为a，b，c15/15的等量关系，即可求得椭圆的离心率，对运算求解的能力要求较高；第规范解答(1)因为点P(，1)，所以kOP＝

3、，又因为AF⊥OP，则－×＝－1，所以c＝b，所以3a2＝4b2.(2分)又点P(，1)在椭圆上，所以＋＝1，解得a2＝，b2＝.故椭圆方程为＋＝1.(4分)(2)解法1由题意，直线AF的方程为＋＝1，与椭圆C方程＋＝1联立消去y，得x2－＝0,解得x＝0或x＝，所以点Q的坐标为.(7分)所以直线BQ的斜率为kBQ＝＝，又OP⊥AF，所以kOP＝.由题意得＝，所以a2＝2b2.(9分)所以椭圆的离心率e＝＝＝.(10分)解法2设点Q坐标为(x0，y0)，则有＋＝1，得y＝b2，又kAQ＝，kBQ＝，所以kAQ·kBQ＝，将y＝b2代入上式，化简得kAQ·kBQ＝－.(7分)

4、15/15又kAQ＝－，所以kBQ＝.因为OP⊥AF，所以kOP＝.由题意得＝，所以a2＝2b2.(9分)所以椭圆的离心率e＝＝＝.(10分)解后反思从阅卷的情况看，主要的问题是考生运算与化简的能力差，对复杂式子的运算缺乏信心和耐心，缺乏方法；问题的解决缺乏严谨，综合运用知识的能力差，例3、(2019南通、泰州、扬州一调）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B.(1)已知椭圆的离心率为，线段AF中点的横坐标为，求椭圆的标准方程；(2)已知△ABF外接圆的圆心在直线y＝－x上，求椭圆的离心率e的值．【解】(1)因为椭圆＋＝

5、1(a>b>0)的离心率为，所以＝，则a＝2c.因为线段AF中点的横坐标为，所以＝.所以c＝，则a2＝8，b2＝a2－c2＝6.所以椭圆的标准方程为＋＝1.(4分)15/15(2)因为A(a，0)，F(－c，0)，所以线段AF的中垂线方程为：x＝.又因为△ABF外接圆的圆心C在直线y＝－x上，所以C.(6分)因为A(a，0)，B(0，b)，所以线段AB的中垂线方程为：y－＝.由C在线段AB的中垂线上，得－－＝，整理得，b(a－c)＋b2＝ac，(10分)即(b－c)(a＋b)＝0.因为a＋b>0，所以b＝c.(12分)所以椭圆的离心率e＝＝＝.(14分)题型二求离心率的范围

6、求离心率的值关键是找到不等关系，解出a与c的关系，进而求出离心率的范围。常见的等式关系主要有：1、若椭圆上的点，则根据范围分布找到横坐标或者纵坐标的范围；2、若是椭圆上的点，则研究此点到焦点的范围；要特别注意离心率的范围。例4、(2018苏中三市、苏北四市三调）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，为右准线上一点．点在椭圆上，且．（1）若椭圆的离心率为，短轴长为．①求椭圆的方程；（2）若在轴上方存在两点，使15/15四点共圆，求椭圆离心率的取值范围．【思路分析】（1）列出关于的方程组，解出值，从而求得椭圆的方程；（2）设出，求出P坐标，三点确定以为直径的圆，要使四点

7、共圆，则第四点O在圆上，有两种思路：思路1，求出圆方程，将点坐标代入圆方程，思路2，的中垂线经过圆心，求出，根据点P，Q均在x轴上方，得到，转化为的不等式，求出范围.规范解答（1）①设椭圆的焦距为2c，由题意，得所以．所以椭圆的方程为．②由①得，焦点，准线为，（2）解法1设，，因为FP⊥FQ，则△FPQ的外接圆即为以PQ为直径的圆．15/15由题意，焦点F，原点O均在该圆上，所以消去得，所以，因为点P，Q均在x轴上方，所以，即，所以，又因为，所以．解法2因为O，F，P，Q四点共圆且FP⊥FQ，所以PQ为圆的直径，所