2020届新高考数学二轮微专题突破17 三次函数的图像与性质（解析版）.docx

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1、专题17三次函数的图像与性质一、例题选讲题型一运用三次函数的图像研究零点问题遇到函数零点个数问题，通常转化为两个函数图象交点问题，进而借助数形结合思想解决问题；也可转化为方程解的个数问题，通过具体的解方程达到解决问题的目的.前者由于是通过图形解决问题，故对绘制的函数图象准确度和细节处要求较高，后者对问题转化的等价性和逻辑推理的严谨性要求较高.下面的解法是从解方程的角度考虑的.例1、(2017南通、扬州、泰州、淮安三调）已知函数若函数恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围是．【答案】【解析】：函数恰有2个不同的零点，即方程恰有2个不相等的根

2、，亦即方程（Ⅰ）和（Ⅱ）共有2个不相等的根.首先（Ⅰ）中，即，若，则都是方程的根，不符合题意，所以，因此（Ⅰ）中由解得，下面分情况讨论（1）若是方程（Ⅰ）的唯一根，则必须满足，即，此时方程（Ⅱ）必须再有唯一的一个根，即有唯一根，因为，由，得必须有满足的唯一根，首先，其次解得的负根需满足，从而解得，（2）若不是方程（Ⅰ）的唯一根，则必须满足，即，此时方程（Ⅱ）必须有两个不相等的根，即有两个不相等的根，由，得适合，另外还有必须一满足的非零实根，首先，解得的正根需满足，从而解得，但前面已经指出，故，20/20综合（1）、（2），得实数的取值范围

3、为.例2、(2017南京学情调研）已知函数f(x)＝当x∈(－∞，m]时，f(x)的取值范围为[－16，＋∞)，则实数m的取值范围是________．【答案】[－2,8]　【解析】思路分析由于f(x)的解析式是已知的，因此，可以首先研究出函数f(x)在R上的单调性及相关的性质，然后根据f(x)的取值范围为[－16，＋∞)，求出它的值等于－16时的x的值，借助于函数f(x)的图像来对m的取值范围进行确定．当x≤0时，f(x)＝12x－x3，所以f′(x)＝12－3x2.令f′(x)＝0，则x＝－2(正值舍去)，所以当x∈(－∞，－2)时，f

4、′(x)＜0，此时f(x)单调递减；当x∈(－2,0]时，f′(x)＞0，此时f(x)单调递增，故函数f(x)在x≤0时的极小值为f(－2)＝－16.当x＞0时，f(x)＝－2x单调递减，f(0)＝0，f(8)＝－16，因此，根据f(x)的图像可得m∈[－2,8]．解后反思根据函数的解析式来得到函数的相关性质，然后由此画出函数的图像，借助于函数的图像可以有效地进行解题，这就是数形结合的魅力．题型二三次函数的单调性问题研究三次函数的单调性，往往通过导数进行研究。要特别注意含参的讨论。例3、已知函数，．（1）求以为切点的切线方程，并证明此切线

5、恒过一个定点；（2）若对一切恒成立，求k的最小值的表达式；（3）设，求的单调增区间．20/20解析（1），，过点P的切线方程为，即，它恒过点（0，-4）；（2）即．当时，上式恒成立；当时，即对一切恒成立，设，①当时，在时取得，∴；②当时，由①②，得（3），，令，得或，当时，由，解得，，令，得，当时，由，解得，．1）当时，的单调增区间为；2）当时，的单调增区间为和；3）当时，的单调增区间为和和．例4、(2018无锡期末）若函数f(x)＝(x＋1)2

6、x－a

7、在区间[－1，2]上单调递增，则实数a的取值范围是________．20/20【答案

8、】(－∞，－1]∪由于条件中函数的解析式比较复杂，可以先通过代数变形，将其化为熟悉的形式，进而利用导数研究函数的性质及图像，再根据图像变换的知识得到函数f(x)的图像进行求解．函数f(x)＝(x＋1)2

9、x－a

10、＝

11、(x＋1)2(x－a)

12、＝

13、x3＋(2－a)x2＋(1－2a)x－a

14、.令g(x)＝x3＋(2－a)x2＋(1－2a)x－a，则g′(x)＝3x2＋(4－2a)x＋1－2a＝(x＋1)(3x＋1－2a)．令g′(x)＝0得x1＝－1，x2＝.①当<－1，即a<－1时，令g′(x)>0，即(x＋1)(3x＋1－2a)>0，解得x

15、<或x>－1；令g′(x)<0，解得

16、(x＋1)3

17、，函数f(x)图像如图2，则f(x)的单调增区间是(－1，＋∞)，单调减区间是(－∞，－1)，满足条件，故a＝－1.,图2)20/20③当>－1，即a>－1时，令g′(x)>0，即(x＋1)(3x＋1－2a)>0，解得

18、x<－1或x>；令g′(x)<0，解得－1