2020届新高考数学二轮微专题突破15 运用构造法研究函数的最值问题（原卷版）.docx

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1、专题15运用构造法研究函数的最值问题一、题型选讲题型一、恒成立与存在问题中的构造函数求参数范围不等式的恒成立问题处理，通过分类讨论，合理的代数变形，将问题进一步转化为熟悉的问题，结合图像，通过构造函数，利用导数进行求解.特别要注意要构造熟悉的函数，便于求解。例1、(2019宿迁期末）已知函数f(x)＝，g(x)＝kx＋b(k，b∈R)．(1)求函数y＝f(x)的定义域和单调区间；(2)当b＝－k时，若存在x∈[e，e2]，使得f(x)≤g(x)＋，求k的取值范围．例2、(2015宿迁一模）已知函数

2、f(x)＝ex(其中e是自然对数的底数)，g(x)＝x2＋ax＋1，a∈R.(1)记函数F(x)＝f(x)·g(x)，且a>0，求F(x)的单调增区间；(2)若对任意x1，x2∈，x1≠x2，均有

3、f(x1)－f(x2)

4、>成立，求实数a的取值范围．5/5例3、(2019苏锡常镇调研）．已知e为自然对数的底数，函数的图像恒在直线上方，则实数a的取值范围为．题型二、构造函数证明不等式不等式的证明是高中数学的一个热点，也是数学的一个难点，考查了数学的综合能力和对知识点的处理。对于这种问题最常见的处理方

5、式就是讲不等式进行变形，构造函数，研究这个函数的最值问题。例4、(2019南通、泰州、扬州一调）已知函数f(x)＝＋lnx(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)设f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)有两个不相同的零点x1，x2.①求实数a的取值范围；②证明：x1f′(x1)＋x2f′(x2)>2lna＋2.例5、(2017苏州期末）已知函数f(x)＝(lnx－k－1)x(k∈R)．5/5(1)当x＞1时，求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若对于任意x∈[e，e2]，都有f(x)＜4

6、lnx成立，求实数k的取值范围；(3)若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，证明：x1x2＜e2k.题型三、构造函数求线段的长度、斜率等问题对于涉及到求距离斜率等问题，运用集合法不好解决的可以考虑所给的形式，构造是的的函数进行求解。一般地，对于以下结构的问题需要注意其式子的几何意义：(1)表示两点间的距离或向量的模；(2)k＝表示过点(a，b)与(x，y)的直线的斜率；(3)Ax＋By与直线Ax＋By＋C＝0的截距有关；(4)P(cosθ，sinθ)表示单位圆x2＋y2＝1上的任意一点；(5)a

7、2±ab＋b2与余弦定理有关，在解题过程中可以利用这些式子的几何意义构造一些特殊的函数。例6、(2018苏州期末）已知直线y＝a分别与直线y＝2x－2和曲线y＝2ex＋x相交于点A，B，则线段AB长度的最小值为________．例7、(2017镇江期末）已知不等式(m－n)2＋(m－lnn＋λ)2≥2对任意m∈R，n∈(0，＋∞)恒成立，则实数λ的取值范围为________．二、达标训练5/51、(2019扬州期末）若存在正实数x，y，z满足3y2＋3z2≤10yz，且lnx－lnz＝，则的最小值

8、为_________．2、(2016盐城三模）若函数f(x)＝ex＋x3－x－1的图像上有且只有两点P1，P2，使得函数g(x)＝x3＋的图像上存在两点Q1，Q2，且P1与Q1，P2与Q2分别关于坐标原点对称，则实数m的取值集合是________．3、(2019苏锡常镇调研（一））已知函数f(x)＝x2＋

9、x－a

10、，g(x)＝(2a－1)x＋alnx，若函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图像恰好有两个不同的交点，则实数a的取值范围为________．4、(2017南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐

11、州六市二调）已知对任意的x∈R,3a(sinx＋cosx)＋2bsin2x≤3(a，b∈R)恒成立，则当a＋b取得最小值时，a的值是________．5、(2017南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）已知函数f(x)＝，g(x)＝lnx，其中e为自然对数的底数．(1)求函数y＝f(x)g(x)在x＝1处的切线方程；(2)若存在x1，x2(x1≠x2)，使得g(x1)－g(x2)＝λ[f(x2)－f(x1)]成立，其中λ为常数，求证：λ＞e；(3)若对任意的x∈(0,1]，不等式f(x)g(

12、x)≤a(x－1)恒成立，求实数a的取值范围．6、(2017苏州暑假测试）已知函数f(x)＝x－lnx，g(x)＝x2－ax.(1)求函数f(x)在区间[t，t＋1](t＞0)上的最小值m(t)；(2)令h(x)＝g(x)－f(x)，A(x1，h(x1))，B(x2，h(x2))(x1≠x2)是函数h(x)图像上任意两点，且满足＞1，求实数a的取值范围；(3)若∃x∈(0,1]，使f(x)≥成立，求实数a的最大值．5/55/5