2020届新高考数学二轮微专题突破13 函数的零点的问题(解析版).docx

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1、专题13函数的零点的问题一、题型选讲题型一函数零点问题中参数的范围已知函数零点的个数,确定参数的取值范围,常用的方法和思路:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决,解法2就是此法.它的本质就是将函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题来加以处理,这样就可以通过这种动静结合来方便地研究问题.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图像,然后数形结合求解.例1、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)设函数f

2、(x)=(其中e为自然对数的底数)有3个不同的零点,则实数m的取值范围是________.【答案】(1,+∞) 【解析】解法1(直接法)当x>0时,令f(x)=e-x-=0,解得x=ln2>0,此时函数f(x)有1个零点,因为要求函数f(x)在R上有3个不同的零点,则当x≤0时,f(x)=x3-3mx-2有2个不同的零点,因为f′(x)=3x2-3m,令f′(x)=0,则x2-m=0,若m≤0,则函数f(x)为增函数,不合题意,故m>0,所以函数f(x)在(-∞,-)上为增函数,在(-,0]上为减函数,即f(x)max=f(-)=-m+3m-2=2m-2

3、,f(0)=-2<0,要使f(x)=x3-3mx-2在(-∞,0]上有2个不同的零点,则f(x)max=2m-2>0,即m>1,故实数m的取值范围是(1,+∞).解法2(分离参数)当x>0时,令f(x)=e-x-=0,解得x=ln2>0,此时函数f(x)有1个零点,因为要求函数f(x)在R上有3个不同的零点,则当x≤0时,f(x)=x3-3mx-2有2个不同的零点,即x3-3mx-2=0,显然x=0不是它的根,所以3m=x2-,令y=x2-(x<0),则y′=2x+=,当x∈(-∞,-1)时,y′<0,此时函数单调递减;当x∈(-1,0)时,y′>0,此

4、时函数单调递增,故ymin=3,因此,要使f(x)=x3-3mx-2在(-∞,0)上有两个不同的零点,则需3m>3,即m>1.23/23例2、(2018扬州期末)已知函数f(x)=ex,g(x)=ax+b,a,b∈R.若对任意实数a,函数F(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上总有零点,求实数b的取值范围.【解析】研究函数的零点问题,主要是抓住两点,一是函数的单调性,二是寻找支撑点,要避免由“图”来直观地说明.规范解答(1)由g(-1)=0知,g(x)的图像过点(-1,0).若a<0,F(x)=f(x)-g(x)=ex-ax-b在(0,+∞)上单调递

5、增,故F(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上总有零点的必要条件是F(0)<0,即b>1.(10分)以下证明当b>1时,F(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上总有零点.①若a<0.由于F(0)=1-b<0,F=e--a-b=e->0,且F(x)在(0,+∞)上连续,由零点存在定理可知F(x)在上必有零点.(12分)②若a≥0.由(2)知ex>x2+1>x2在x∈(0,+∞)上恒成立.取x0=a+b,则F(x0)=F(a+b)=ea+b-a(a+b)-b>(a+b)2-a2-ab-b=ab+b(b-1)>0.由于F(0)=1-b<0,F(a+b)

6、>0,且F(x)在(0,+∞)上连续,由零点存在定理可知F(x)在(0,a+b)上必有零点.综上得实数b的取值范围是(1,+∞).(16分)第(3)问是函数零点问题,不能从粗糙的图像来确定,必须按零点存在定理来确定,这是此题的难点所在,难在所谓的“支撑点”的寻找,这要在平时的解题中加以积累.此外第(3)问的参数范围的确定,采用的是以证代求,这也是值得关注的地方例3、(2019苏州期末)已知函数f(x)=ax3+bx2-4a(a,b∈R).(1)当a=b=1时,求f(x)的单调增区间;(2)当a≠0时,若函数f(x)恰有两个不同的零点,求的值;23/23【

7、解析】(1)先解不等式f′(x)>0,再写出函数f(x)的单调递增区间.(2)记=k,则转化为函数g(x)=x3+kx2-4恰有两个不同的零点.由三次函数的图像可知,g(x)在极值点处取得零点.在第(2)题中,也可转化为=-x恰有两个不同的实数解.另外,由g(x)=x3+kx2-4恰有两个不同的零点,可设g(x)=(x-s)(x-t)2.展开,得x3-(s+2t)x2+(2st+t2)x-st2=x3+kx2-4,所以解得解:(1)当a=b=1时,f(x)=x3+x2-4,f′(x)=3x2+2x.(2分)令f′(x)>0,解得x>0或x<-,所以f(x

8、)的单调增区间是和(0,+∞).(4分)(2)法一:f′(x)=3ax2+2bx

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