因式分解式法、十字相乘法-教师版.doc

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1、2、运用公式法进行因式分解【知识精读】把乘法公式反过来,就可以得到因式分解的公式。主要有:平方差公式完全平方公式立方和、立方差公式补充:欧拉公式:特别地:(1)当时,有(2)当时,欧拉公式变为两数立方和公式。运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点,熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后,方可使用公式。用公式法因式分解在求代数式的值,解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此,正确掌握公式法因式分解,熟练灵活地运用它,对今后的学习很有帮助。下面我们就来学习用公式法进行因式分解【分类解析】1.把分解因式的结果

2、是()A.B.C.D.分析:。再利用平方差公式进行分解,最后得到,故选择B。说明:解这类题目时,一般先观察现有项的特征,通过添加项凑成符合公式的形式。同时要注意分解一定要彻底。2.在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用例:已知多项式有一个因式是,求的值。分析:由整式的乘法与因式分解互为逆运算,可假设另一个因式,再用待定系数法即可求出的值。解:根据已知条件,设则由此可得由(1)得把代入(2),得把代入(3),得3.在几何题中的应用。例:已知是的三条边,且满足,试判断的形状。分析:因为题中有,考虑到要用完全

3、平方公式,首先要把转成。所以两边同乘以2,然后拆开搭配得完全平方公式之和为0,从而得解。解:为等边三角形。4.在代数证明题中应用例:两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。分析:先根据已知条件把奇数表示出来,然后进行变形和讨论。解:设这两个连续奇数分别为(为整数)则由此可见,一定是8的倍数。5、中考点拨:例1:因式分解:________。解:说明:因式分解时,先看有没有公因式。此题应先提取公因式,再用平方差公式分解彻底。例2:分解因式:_________。解:说明:先提取公因式,再用完全平方公式分解彻底。题型展示:例1.已知:,求

4、的值。解:原式说明:本题属于条件求值问题,解题时没有把条件直接代入代数式求值,而是把代数式因式分解,变形后再把条件带入,从而简化计算过程。例2.已知,求证:证明:把代入上式,可得,即或或若,则,若或,同理也有说明:利用补充公式确定的值,命题得证。例3.若,求的值。解:且又两式相减得所以说明:按常规需求出的值,此路行不通。用因式分解变形已知条件,简化计算过程。【实战模拟】1.分解因式:(1)(2)(3)2.已知:,求的值。3.若是三角形的三条边,求证:4.已知:,求的值。5.已知是不全相等的实数,且,试求(1)的值;(2)的值。

5、【试题答案】1.(1)解:原式说明:把看成整体,利用平方差公式分解。(2)解:原式(3)解:原式2.解:3.分析与解答:由于对三角形而言,需满足两边之差小于第三边,因此要证明结论就需要把问题转化为两边差小于第三边求得证明。证明:是三角形三边且即4.解,即5.分析与解答:(1)由因式分解可知故需考虑值的情况,(2)所求代数式较复杂,考虑恒等变形。解:(1)又而不全相等(2)原式而,即原式说明:因式分解与配方法是在代数式的化简与求值中常用的方法。5、用十字相乘法把二次三项式分解因式【知识精读】对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘

6、法,重点是运用公式进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数,即把常数项分解成两个数的积,且其和等于一次项系数。对于二次三项(a、b、c都是整数,且)来说,如果存在四个整数满足,并且,那么二次三项式即可以分解为。这里要确定四个常数,分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂,因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。【分类解析】1.在方程、不等式中的应用例1.已知:,求x的取值范围。分析:本题为二次不等式,可以应用因式分解化二次为一次,即可求解。解:例2.如果能分解成两个整数系数的

7、二次因式的积,试求m的值,并把这个多项式分解因式。分析:应当把分成,而对于常数项-2,可能分解成,或者分解成,由此分为两种情况进行讨论。解:(1)设原式分解为,其中a、b为整数,去括号,得:将它与原式的各项系数进行对比,得:解得:此时,原式(2)设原式分解为,其中c、d为整数,去括号,得:将它与原式的各项系数进行对比,得:解得:此时,原式2.在几何学中的应用例.已知:长方形的长、宽为x、y,周长为16cm,且满足,求长方形的面积。分析:要求长方形的面积,需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。解:或又解得:或∴长方形的面积为15

8、cm2或3、在代数证明题中的应用例.证明:若是7的倍数,其中x,y都是整数,则是49的倍数。分析:要证明原式是49的倍数,必将原式分解成49与一个整数的乘积的形式。证明一:∵是7的倍数,7y也是7的倍数(y是整数)∴是7的倍数而2与7互质,因此,是7的倍数,所以是49的倍数。

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