两条直线的位置关系(六).ppt

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1、§7.3.6两条直线的 位置关系(六)直线系方程及其应用1.与直线l:Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+m=0(其中m≠C);直线系方程的种类1:yox直线系方程的定义直线系:具有某种共同性质的所有直线的集合yxo2.与直线l:Ax+By+C=0垂直的直线系方程为:Bx-Ay+m=0(m为待定系数).直线系方程的种类2:3.过定点P(x0,y0)的直线系方程为:A(x-x0)+B(y-y0)=0yxo推导:设直线的斜率为A(x-x0)+B(y-y0)=0yox4.若直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0相交,则过两直

2、线的交点的直线系方程为:A1x+B1y+C1+m(A2x+B2y+C2)=0,其中m为待定系数.所以A1x0+B1y0+C1+m(A2x0+B2y0+C2)=0证明:直线A1x0+B1y0+C1+m(A2x0+B2y0+C2)=0经过点(x0,y0)4.若直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0相交,则过两直线的交点的直线系方程为:A1x+B1y+C1+m(A2x+B2y+C2)=0,其中m为待定系数.直线系方程的应用:解法1:将方程变为:解得:故直线恒过例1.求证:无论m取何实数时,直线(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0

3、恒过定点,并求出定点的坐标。解法2:令m=1,m=-3代入方程,得:所以直线恒过定点例1.求证:无论m取何实数时,直线(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点,并求出定点的坐标。若证明一条直线恒过定点或求一条直线必过定点,通常有两种方法:方法小结:法二:从特殊到一般,先由其中的两条特殊直线求出交点,再证明其余直线均过此交点。法一:分离系数法,即将原方程改变成:f(x,y)+mg(x,y)=0的形式,此式的成立与m的取值无关,故从而解出定点。解(1):设经二直线交点的直线方程为:代(2,1)入方程,得:所以直线的方程为:3x+2y+4=0例2:求过两直

4、线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点,且满足下列条件的直线l的方程。(1)过点(2,1)(2)和直线3x-4y+5=0垂直。解(2):将(1)中所设的方程变为:由已知:故所求得方程是:4x+3y-6=0例2:求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点,且满足下列条件的直线l的方程。(1)过点(2,1)(2)和直线3x-4y+5=0垂直。方法小结:本题采用先用直线系方程表示所求直线方程,然后再列式,求出方程的待定常数,从而最终求得问题的解.这种方法称之为待定系数法,在已知函数或曲线类型问题中,我们都可以利用待定系数法来求解.练习1一.已知直线分别满足下列

5、条件,求直线的方程:y=x2x+3y-2=04x-3y-6=0x+2y-11=05.若直线方程为(2m+1)x+(3m-2)y-18m+5=0求证:无论m为何值时,所给直线恒过定点。解:将方程化为:得:所以无论m为何值,直线均经过定点两条直线方程相乘可以构成一个二元二次方程,如:l1:x+2y-1=0,l2:x-y=0,相乘后就得:x2+xy-2y2-x+y=0那么,反过来,如果已知一个二元二次方程是由两条直线的方程相乘所得,我们也可以先设出这两条直线的方程,再利用待定系数法求出它们.请看下面的例子:解(待定系数法):将方程化作:设:则即:k=-6时方程表示两条

6、直线。例3:问k为何值时,方程3x2+2xy-y2+7x-5y+k=0表示两条直线?1.方程x2-y2=0表示的图形是:————2.直线系6x-4y+m=0中任一条直线与直线系2x+3y+n=0中的任一条直线的位置关系是_______.练习垂直解:方程应有非负根,故:3.方程 表示两条直线,求m的取值范围。小结直线系方程的种类直线系方程的应用

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