初三数学多项式最值问题十法.doc

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1、初三数学求多项式最值问题十法高俊元多元多项式的最大（小）值是近几年数学竞赛的热点内容。这种题型涉及变量多，条件多，且形式新颖，解法灵活。同学们对这类问题常感到无从下手，本文将解决这类问题常用方法加以汇总，供大家参考。一、配方法例1.已知x，y，z都是实数，且，则（）A.只有最大值B.只有最小值C.既有最大值又有最小值D.既无最大值又无最小值解：即m有最小值而三式相加即m有最大值1故应选C二、参数法例2.若，则可取的最小值为（）A.3B.C.D.6解：设则所以∴当时的值最大为，应选B三、消元法例3.已知x，y，z为3个非负实

2、数且满足：，，设，s的最大值与最小值的和为_________。解：由得则，所以s的最大值为3，最小值为2，其和为5。四、分类讨论法例4.设均为正整数，且，则当的值最大时，的最小值是（）A.8B.9C.10D.11解：由，知由<1>得，从而得，与题设矛盾由<2>可取使取到最大值，且也可取到最大值，此时取可全部满足条件，因而的最小值为。五、枚举法例5.设整数a、b、c满足的个位数依次为x、y、z，当为最小时，求乘积abc的最大值。解：依已知需把x、y、z、a、b、c求出∴（x、y、z）有10种可能：（1，8，7），（1，8，4

3、），（1，8，5），（1，7，4），（1，7，5），（1，4，5），（8，7，4），（8，7，5），（8，4，5），（7，4，5）那么的值依次为：故的最小值是此时（x，y，z）＝（1，8，4）或（1，8，5）相应的或故abc的最大值是10六、等值代换法例6.若a，c，d是整数，b是正整数，且满足那么的最大值是（）A.B.C.0D.1解：，即代入得等号成立当且仅当时，此时的最大值是，应选B。七、放缩法例7.设为自然数，且，又，则的最大值为__________。解：由题设有同理的最大值为19，取则，从而取，则从而，依次可得符合

4、条件的7个数为19，20，22，23，24，25，26故知所求最大值为61八、和差代换法例8.实数x、y、z满足，则z的最大值是________。解：设，代入已知式可得由<1>得代入<2>得：化简得即解得故z的最大值为九、分析判断法例9.已知a、b、c都是整数，且，则的最小值是_________。解：由知a、b、c中必有两负一正不妨设此时∵a、b、c为整数∴当时，a取最大值1990的最小值是：十、逐步调整法例10.已知都是正整数，且，若的最大值为A，最小值为B，则A+B的值等于________。解：因为把58写成40个正整

5、数的和的写法只有有限种，故的最小值和最大值是存在的。不妨设，若则，且所以，当时，可以把逐步调整到1，这时将增大；同样地，可以把逐步调整到1，这时将增大。于是，当均为1，时，取得最大值即若存在两个数，使得，则这说明在中，如果有两个数的差大于1，则把较小的数加1，较大的数减1，这时将减小。所以，当取到最小时，中任意两个数的差都不大于1。于是当时取得最小值即故A＋B＝494