常微分方模拟试题.doc

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1、常微分方程模拟试题一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．一阶微分方程的通解的图像是　　2　　维空间上的一族曲线．2．二阶线性齐次微分方程的两个解为方程的基本解组充分必要条件是．3．方程的基本解组是．4．一个不可延展解的存在在区间一定是区间．5．方程的常数解是．二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．方程满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（）．（A）上半平面（B）xoy平面（C）下半平面（D）除y轴外的全平面7.方程（）奇解．　　（A）有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个8．连续可微是保证方程解存在且唯一的（）条件．（A）

2、必要（B）充分（C）充分必要（D）必要非充分9．二阶线性非齐次微分方程的所有解（）．（A）构成一个2维线性空间（B）构成一个3维线性空间（C）不能构成一个线性空间（D）构成一个无限维线性空间10．方程过点(0,0)有（B　）．　　(A)无数个解　　　　(B)只有一个解　(C)只有两个解　　　(D)只有三个解三、计算题（每小题６分，本题共30分）求下列方程的通解或通积分：11.12.13.14．15．四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．求方程的通解．17．求下列方程组的通解．五、证明题（每小题10分，本题共20分）18．设在上连续，

3、且，求证：方程的一切解，均有．19．在方程中，在上连续，求证：若恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式是上的严格单调函数．常微分方程模拟试题参考答案一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．22．线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）3．4．开5．二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．D7．C8．B9．C10．A三、计算题（每小题６分，本题共30分）11．解：为常数解（1分）当，时，分离变量取不定积分，得（3分）通积分为（6分）注：包含在常数解中，当时就是常数解，因此常数解可以不专门列出。13．解：方程两端同乘以，得（1

4、分）令，则，代入上式，得（3分）这是一阶线形微分方程，对应一阶线形齐次方程的通解为（4分）利用常数变易法可得到一阶线形微分方程的通解为（5分）因此原方程通解为（6分）14．解：因为，所以原方程是全微分方程．（2分）取，原方程的通积分为（4分）计算得（6分）15．解：原方程是克莱洛方程，通解为（6分）四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．解：对应齐次方程的特征方程为，（1分）特征根为，，（2分）齐次方程的通解为（4分）因为是特征根。所以，设非齐次方程的特解为（6分）代入原方程，比较系数确定出，，（9分）原方程的通解为（10分）17．解

5、：齐次方程的特征方程为（1分）特征根为（2分）求得特征向量为（3分）因此齐次方程的通解为（4分）令非齐次方程特解为（5分）满足（6分）解得（8分）积分，得，（9分）通解为（10分）五、证明题（每小题10分，本题共20分）18．证明：设是方程任一解，满足，该解的表达式为（4分）取极限=（10分）19．证明：设，是方程的基本解组，则对任意，它们朗斯基行列式在上有定义，且．又由刘维尔公式，（5分）由于，，于是对一切，有或故是上的严格单调函数．（10分）