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1、第八章常微分方程数值解姓名学号班级习题主要考察点：欧拉方法的构造，单步法的收敛性和稳定性的讨论，线性多步法中亚当姆斯方法的构造和讨论。1用改进的欧拉公式，求以下微分方程的数值解（取步长），并与精确解作比较。（改进的尤拉公式的应用）解：原方程可转化为，令，有解此一阶线性微分方程，可得。利用以下公式求在节点处的数值解，其中，初值为。MATLAB程序如下：x(1)=0;%初值节点y(1)=1;%初值fprintf('x(%d)=%f,y(%d)=%f,yy(%d)=%f',1,x(1),1,y(1),1,y(1));fori=1:5yp=y(i)+0.2*(y(i)-2*
2、x(i)/y(i));%预报值yc=y(i)+0.2*(yp-2*x(i)/yp);%校正值y(i+1)=(yp+yc)/2;%改进值x(i+1)=x(i)+0.2;%节点值yy(i+1)=sqrt(2*x(i+1)+1);%精确解fprintf('x(%d)=%f,y(%d)=%f,yy(%d)=%f',i+1,x(i+1),i+1,y(i+1),i+1,yy(i+1));end程序运行的结果如下：x(1)=0.000000,y(1)=1.000000,yy(1)=1.000000x(2)=0.200000,y(2)=1.220000,yy(2)=1.183216
3、x(3)=0.400000,y(3)=1.420452,yy(3)=1.341641x(4)=0.600000,y(4)=1.615113,yy(4)=1.483240x(5)=0.800000,y(5)=1.814224,yy(5)=1.612452x(6)=1.000000,y(6)=2.027550,yy(6)=1.7320512用四阶龙格－库塔法求解初值问题，取,求时的数值解.要求写出由直接计算的迭代公式，计算过程保留3位小数。（龙格－库塔方法的应用）解：四阶龙格-库塔经典公式为由于，在各点的斜率预报值分别为：四阶经典公式可改写成以下直接的形式：在处，有在处，有
4、注：这两个近似值与精确解在这两点的精确值十分接近。3用梯形方法解初值问题证明其近似解为并证明当时，它收敛于原初值问题的准确解。解：显然，是原初值问题的准确解。求解一般微分方程初值问题的梯形公式的形式为对于该初值问题，其梯形公式的具体形式为，，于是：亦即：注意到：，，令，有从而即：当时，收敛于原初值问题的准确解。4对于初值问题，证明当时，欧拉公式绝对稳定。（显式和隐式欧拉公式的稳定性讨论）证明：显式的欧拉公式为从而，由于，，因此，显式欧拉公式绝对稳定。隐式的欧拉公式为，由于，，因此，隐式的欧拉公式也是绝对稳定的。5证明：梯形公式无条件稳定。（梯形公式的稳定性讨论）解：对于
5、微分方程初值问题其隐式的梯形公式的具体形式可表示为，，从而由，可知，，故隐式的梯形公式无条件稳定。6设有常微分方程的初值问题，试用泰勒展开法，构造线性两步法数值计算公式，使其具有二阶精度，并推导其局部截断误差主项。（局部截断误差和主项的计算）解：假设，，利用泰勒展式，有又欲使其具有尽可能高的局部截断误差，必须，，从而，，于是数值计算公式为。该数值计算公式的局部截断误差的主项为7已知初值问题取步长，利用阿当姆斯公式，求此微分方程在[0，10]上的数值解，求此公式的局部截断误差的首项。（阿当姆斯公式的应用）解：假设，，利用泰勒展开，有，，而该阿当姆斯两步公式具有2阶精度，其
6、局部截断误差的主项为。取步长，节点（），注意到，其计算公式可改写为仅需取一个初值，可实现这一公式的实际计算。其MATLAB下的程序如下：x0=0;%初值节点y0=0;%初值forn=0:99y1=y0+0.02*n+0.01;x1=x0+0.1;fprintf('x(%3d)=%10.8f,y(%3d)=%10.8f',n+1,x1,n+1,y1);x0=x1;y0=y1;end运行结果如下：x(1)=0.10000000,y(1)=0.01000000x(2)=0.20000000,y(2)=0.04000000x(3)=0.30000000,y(3)=0.090
7、00000x(4)=0.40000000,y(4)=0.16000000x(5)=0.50000000,y(5)=0.25000000x(6)=0.60000000,y(6)=0.36000000x(7)=0.70000000,y(7)=0.49000000x(8)=0.80000000,y(8)=0.64000000x(9)=0.90000000,y(9)=0.81000000x(10)=1.00000000,y(10)=1.00000000x(11)=1.10000000,y(11)=1.21000000x(12)=1.2000000
