高考数学（文）大一轮复习检测：选修4－5 不等式选讲 课时作业69（含答案）.doc

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1、课时作业69　不等式的证明1.(1)已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2；(2)已知a，b，c都是正数，求证：≥abc.证明：(1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a－b)2.因为a，b都是正数，所以a＋b>0.又因为a≠b，所以(a－b)2>0.于是(a＋b)(a－b)2>0，即(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，所以a3＋b3>a2b＋ab2.(2)因为b2＋c2≥2bc，a2>0，所以a2(b2＋c2)≥2a2bc.　①同理b2(a2＋c2)≥2ab2c，　②c2(a2＋b2)≥2abc2.①②③相加得2(a2b2＋

2、b2c2＋c2a2)≥2a2bc＋2ab2c＋2abc2，从而a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c).由a，b，c都是正数，得a＋b＋c>0，因此≥abc.2.已知函数f(x)＝2x，x1，x2是任意实数且x1≠x2，证明：[f(x1)＋f(x2)]>f.证明：[f(x1)＋f(x2)]－f＝＝[2＋2－2×2]＝[2－2·2－2·2＋2]＝[2(2－2)－2(2－2)]＝(2－2)(2－2)＝(2－2)2.因为x1≠x2，2≠2，所以(2－2)2>0，即[f(x1)＋f(x2)]－f>0，所以[f(x1)＋f(x2)]>f.3.设a>0，b>0，且a＋b

3、＝＋.证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立.证明：由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.当且仅当a＝b＝1时等号成立.(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0得00，b>0，c>0.若函数f(x)＝

4、x＋a

5、＋

6、x－b

7、＋c的最小值为2.(1)求a＋b＋c的值；(2)求＋＋的最小值.解：(1)因为f

8、(x)＝

9、x＋a

10、＋

11、x－b

12、＋c≥

13、(x＋a)－(x－b)

14、＋c＝

15、a＋b

16、＋c，当且仅当－a≤x≤b时，等号成立，又a>0，b>0，所以

17、a＋b

18、＝a＋b，所以f(x)的最小值为a＋b＋c，所以a＋b＋c＝2.(2)由(1)知a＋b＋c＝2，所以＋＋＝(＋＋)×＝×[3＋(＋)＋(＋)＋(＋)]≥×(3＋2＋2＋2)＝，当且仅当＝，＝，＝，即a＝b＝c＝时，等号成立.所以＋＋的最小值为.2.(2017·昆明检测)已知函数f(x)＝.(1)求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)的值域是[m，n]，且a2＋b2＝m，c2＋d2＝n，求ac＋bd的取值范围.解：(1

19、)设g(x)＝

20、x＋3

21、－

22、x－1

23、＋5，则g(x)＝，所以g(x)∈[1，9].所以函数f(x)的值域是[1，3].(2)由(1)知a2＋b2＝1，c2＋d2＝3，由柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，取等号，即(ac＋bd)2≤3，解得－≤ac＋bd≤，所以ac＋bd∈[－，].3.(2017·衡阳二联)已知函数f(x)＝

24、x－3

25、.(1)若不等式f(x－1)＋f(x)

26、a

27、<1，

28、b

29、<3，且a≠0，判断与f()的大小，并说明理由.解：(1)因为f(x－1)＋f(x)＝

30、x

31、－4

32、＋

33、x－3

34、≥

35、x－4＋3－x

36、＝1，不等式f(x－1)＋f(x)f().证明：要证>f()，只需证

37、ab－3

38、>

39、b－3a

40、，即证(ab－3)2>(b－3a)2，又(ab－3)2－(b－3a)2＝a2b2－9a2－b2＋9＝(a2－1)(b2－9).因为

41、a

42、<1，

43、b

44、<3，所以(ab－3)2>(b－3a)2成立，所以原不等式成立.