湖北省孝感市2013年高考数学备考资料 研究专题4（必修2）：教科书资源的开发与利用之必修2（1）.doc

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1、专题2：教科书资源的开发与利用之必修2孝感一中储广钊李海涛必修2教材共有四章：空间几何体，点、直线、平面之间的位置关系属于立体几何主要培养学生的空间想象能力和模型的思想。直线与方程，圆与方程属于解析几何主要体现数形结合的数学思想方法。本文主要谈一谈解析几何之数形结合。解析几何是17世纪法国数学家笛卡尔和费马创立的。它最基本的研究方法是坐标法。坐标法是以坐标系为桥梁，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法。数形结合思想包含“数形结合”和“形数结合”两个方面。“数形结合”是将代数问题

2、转化为图形形式的问题，是借助“形”的生动性和直观性来阐明“数”的联系，即以“形”作为手段、“数”作为目的；“形数结合”是将图形形式的问题转化为代数的问题，是借助“数”的精确性、规范性和严密性来阐明“形”的某些属性，即以“数”作为手段、“形”作为目的。运用数形结合思想分析解决问题时应遵循三个原则:等价性原则、双方性原则、简单性原则。一、用“数”解“形”例1：（必修2第3.3.2例4）证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。分析：首先要建立适当的坐标系，用坐标表示有关量，然后进行代数运算，最后

3、把代数运算的结果“翻译”成几何关系。证明：如图所示，以顶点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则A（0,0）设B（a,0），D(b,c),由平行四边形性质得点C（a+b,c）。因为所以所以。因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。上述解决问题的基本步骤就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论。例2：（必修2习题

4、3.3B组第7题）已知AO是三角形ABC的边BC的中线，求证:分析：延长AO至M使AO=OM，则ABMC为平行四边形，可用例1的结论。证明：如图，延长AO至M作一平行四边形ABMC，则有：即：所以。拓展：可以由此推出三角形某一条边上的中线长公式。即三角形的BC边上的中线AD的长为：例3：（必修2第三章复习参考题B组第2题）如果四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，那么它的对角线具有什么关系？为什么？解：设A（x1,y1）,B（x2,y2）,C（x3,y3）,D（x4,y4）.由题意得：即（x1

5、—x2）2+（y1—y2）2+（x3—x4）2+（y3—y4）2=（x2—x3）2+（y2—y3）2+（x1—x4）2+（y1—y4）2整理得x1x2+x3x4—x1x4—x2x3+y1y2+y3y4—y1y4—y2y3=0即（x3—x1）（x4—x2）+（y3—y1）（y4—y2）=0所以直线AC与BD垂直，即它的对角线垂直。事实上，这道题也可以用向量来解答如下：，则即即则，所以所以直线AC与BD垂直，即它的对角线垂直。二、用“形”解“数”例4：（必修2习题3.3B组第:8题）已知0

6、<1，求证：并求使等式成立的条件。证明：在直角坐标系中，画点A（1,0），B（1,1），C（0,1）设P（x，y）是正方形OABC内一点，则有0

7、参考题B组第7题）设a，b，c，d∈R，求证：对于任意p,q∈R,证明：设A（a，b），B（c，d），C（p，q），则，因为对于平面上的三点A，B，C总有,所以。例6：（必修2教师教学用书第142页自我检测题填空题4）点P在圆C1：x2+y2—8x—4y+11=0上，点Q在圆C2：x2+y2+4x+2y+1=0上，则的最小值是解：配方得，圆C1：（x—4）2+（y—2）2=9，圆C2：（x+2）2+（y+1）2=4圆心C1（4,2），半径长是3；圆心C2（—2,—1），半径长是2.连心线长为，所以两圆

8、外离，的最小值是。变式1.点P改为定点P(4,2),则的最小值是最大值是解析：即求P点到圆心C2的距离减去或加上半径2，得到最小值是，最大值是。变式2.点P改为在直线4x+3y—12=0上，则的最小值是最大值是解析：即求圆心C2到直线的距离减去或加上半径2，计算得距离d=,所以最小值是—2=，最大值是+2=点评：分别考查了点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，结合图形求得相应的最值。例7：（必修2教师教学用书第118页补充例题第3题）如果实数x,y满足（x