不等式中级水平必备.pdf

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1、不等式中级水平必备一、幂平均不等式1、幂平均函数：设x1,x2,...,xn0，则幂平均函数定义为：M(0)nx1x2...xn；(1)1xrxr...xrrM(r)12n(2)n(1)(2)这两个式子称为幂平均函数.2、幂平均不等式：幂平均函数在实数空间是连续且单调递增的.利用其增减性得到的不等式称为幂平均不等式.xrxr...xr3、在r0点的证明：设函数f(r)ln12nnrrrx1lnx1x2lnx2...xnlnxn则：f'(r)rrrx1x2...xn000x1lnx1x2lnx2...xnlnxnl

2、n(x1x2...xn)n于是：f'(0)000lnx1x2...xnx1x2...xnnf'(0)lnnxx...x即：ee12nnxx...x①12n1xrxr...xrr而：M(r)12nn1xrxr...xrf(r)则：lnM(r)ln12nrnrf(r)f(r)f(0)故：lnM(0)limlnM(r)limlimf'(0)r0r0rr0r0f'(0)则：M(0)e②将①代入②得：M(0)nx1x2...xn.(1)式证毕.二、幂平均不等式的推论第1页1、在r1点：由(2)式得：1

3、x1x1...x1nM(1)12nH(3)nx1x1x1n12...n故r1的幂平均值是调和平均值.2、在r0点：由已证明过的(1)式：M(0)nx1x2...xnGn(4)故r0的幂平均值是几何平均值.3、在r1点：由(2)式得：1x1x1...x11xx...xM(1)12n12nA(5)nnn故r1的幂平均值是算术平均值.4、在r2点：由(2)式得：1x2x2...x22x2x2...x2M(2)12nn12nQ(6)nnn故r2的幂平均值是平方平

4、均值.5、推论：根据幂平均函数在实数空间是连续且单调递增，r由1012可得：HnGnAnQn(7)当且仅当x1x2...xn时取等号.以上是由幂平均不等式推导的均值定理，在处理更高次方时，即r2时，(2)式仍适用.三、加权不等式1、加权不等式：若1,2,...,n[0,1]，且12...n1，则i就是权重，当ak0（k1,2,...,n）时，恒有：aa...aa1a2...an(8)1122nn12n成立.第2页(8)式就是加权不等式.2、对n2时：此时(8)式为：aaa1a21122121a1

5、a2取12，上式变为：a1a222这是二元的均值不等式.3、对n3时：此时(8)式为：aaaa1a2a31122331231a1a2a33取123，上式变为：a1a2a333这是三元的均值不等式.4、评价：此加权不等式为均值加权，由于权重的灵活配置，加权不等式比均值不等式更加灵活，也更加高效.四、加权琴生不等式1、琴生不等式：对于向下凸函数，函数的均值不小于均值的函数值.用数学式子表达为：f(x1)f(x2)...f(xn)x1x2...xnf()(9)nn左边是函数的平均值，右边是平均值的函数值.对于向上凸函数，只

6、需在函数前面加一个负号就可以直接采用(9)式.2、加权琴生不等式：若函数f(x1,x2,...,xn)在[a,b]区间连续，且在(a,b)区间为向下凸函数，若1,2,...,n[0,1]，且12...n1，对于一切x1,x2,...,xn(a,b)，则：1f(x1)...nf(xn)f(1x1...nxn)(10)1当12...n时，(10)式就化为(9)式.n因此，(10)式是更普遍的琴生不等式.3、推论：设函数f，在区间[a,b]R时，f是一个连续函数，则：11xy⑴对一切x,y[a,b]，恒有：f(x)f(y)f(

7、)(11)222第3页⑵对一切x,y[a,b]，(0,1)，恒有：f(x)(1)f(y)f(x(1)y)(12)4、向下凸函数判据：设函数f，在区间[a,b]R时，f是一个连续函数.f(x)f(y)xy⑴如果f()成立，则f为向下凸函数.22⑵如果f''(x)0，则f为向下凸函数.五、柯西不等式1、柯西不等式：设a1,a2,...,an,b1,b2,...,bn为实数，则：22222(a1...an)(b1