不等式高级水平必备.pdf

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1、不等式高级水平必备目录Ch1.伯努利不等式Ch2.均值不等式Ch3.幂均不等式Ch4.柯西不等式Ch5.切比雪夫不等式Ch6.排序不等式Ch7.琴生不等式Ch8.波波维奇亚不等式Ch9.加权不等式Ch10.赫尔德不等式Ch11.闵可夫斯基不等式Ch12.牛顿不等式Ch13.麦克劳林不等式Ch14.定义多项式Ch15.舒尔不等式Ch16.定义序列Ch17.缪尔海德不等式Ch18.卡拉玛塔不等式Ch19.单调函数不等式Ch20.3个对称变量pqr法Ch21.3个对称变量uvw法Ch22.ABC法Ch23.SOS法Ch24.SMV法Ch25.拉格朗日乘数法Ch26.三角不等式Ch27.习题与习

2、题解析第1页Ch1.伯努利不等式1.1若实数x（i1,2,...,n）各项符号相同，且x1，则：ii(1x)(1x)...(1x)1xx...x(1)12n12n(1)式为伯努利不等式.n当xx...xx时，(1)式变为：(1x)1nx(2)12nCh2.均值不等式2.1若a,a,...,a为正实数，记：12n222aa...a12n⑴Q，为平方平均数，简称平方均值；nnaa...a12n⑵A，为算术平均数，简称算术均值；nn⑶Gnaa...a，为几何平均数，简称几何均值；n12nn⑷H，为调和平均数，简称调和均值.n111..

3、.aaa12n则：QAGH(3)nnnniffaa...a时，等号成立.（注：iffifandonlyif当且仅当.）12n(3)式称为均值不等式.Ch3.幂均不等式3.1设a(a,a,...,a)为正实数序列，实数r0，则记：12n1rrrraa...a12nM(a)(4)rn(4)式的M(a)称为幂平均函数.r3.2若a(a,a,...,a)为正实数序列，且实数r0，则：12nM(a)M(a)(5)rs当rs时，(5)式对任何r都成立，即M(a)关于r是单调递增函数.r(5)式称为幂平均不等式，简称幂均不等式.3.3设m(m,m,..

4、.,m)为非负实数序列，且mm...m1，若a(a,a,...,a)为正12n12n12n实数序列，且实数r0，则：第2页1mrrrrM(a)(mama...ma)(6)r1122nn(6)式称为加权幂平均函数.mmm3.4若a(a,a,...,a)为正实数序列，且实数r0，对M(a)则：M(a)M(a)12nrrs11rrrrssss即：(mama...ma)(mama...ma)(7)1122nn1122nnm当rs时，(7)式对任何r都成立，即M(a)关于r是单调递增函数.r(7)式称为加权幂平均不等式，简称加权幂均不等式.Ch4.柯西不等

5、式4.1若a,a,...,a和b,b,...,b均为实数，则：12n12n2222222(aa...a)(bb...b)(abab...ab)(8)12n12n1122nnaaa12niff...时，等号成立.（注：iffifandonlyif当且仅当.）bbb12n(8)式为柯西不等式.4.2柯西不等式还可以表示为：222222a1a2...anb1b2...bna1b1a2b2...anbn2()()()(9)nnn简称：“平方均值两乘积，大于积均值平方”abab...ababab...ab1122nn1122nn我们将简称

6、为积均值，记：D.nnn224则：[Q(a)][Q(b)][D(ab)]，即：Q(a)Q(b)D(ab)(10)nnnnnn4.3推论1：若a,b,c,x,y,z为实数，x,y,z0，则：2222aaa(aa...a)12n12n...(11)bbbbb...b12n12naaa12niff...时，等号成立.bbb12n(11)式是柯西不等式的推论，称权方和不等式.4.4推论2：若a,a,...,a和b,b,...,b均为实数，则：12n12n22222222abab...ab(aa...a)(bb...b)(12)1122

7、nn12n12naaa12niff...时，等号成立.bbb12n4.5推论3：若a,b,c,x,y,z为正实数，则：第3页xyz(bc)(ca)(ab)3(abbcca)(13)yzzxxyCh5.切比雪夫不等式5.1若aa...a；bb...b，且均为实数.则：12n12n(aa...a)(bb...b)n(abab...ab)(14)12n12n1122nniffa