高中数学 口算椭圆双曲线离心率问题.pdf

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1、作业帮一课周永亮老师独家编辑口算椭圆双曲线离心率问题【学习目标】1．掌握离心率的定义，并由定义推导出常见的离心率速算公式；2．会利用椭圆双曲线的几何性质来简化离心率的计算公式．【学习重难点】1．离心率的推导公式及变形；2．椭圆双曲线中一些二级结论在离心率求解中的应用．作业帮一课周永亮老师独家编辑【知识精讲】22xy性质1：AB是椭圆+=10(ab)的任意一条弦，O为椭圆的中心，M为AB的中22ab2点，则kke=−1；ABOM22xyAB是双曲线−=1的任意一条弦，O为双曲线的中心，M为AB的中点，则22ab2b2kke

2、==−1.ABOM2a2双曲线中的结论同样为：kke=−1．ABOMy证明：（点差法）A设Axy(,)，Bxy(,)，Mxy(,)112200BMx1x2x+=02F1OF2x则，yyy+=212022xy将Axy(11,)，Bxy(22,)带入22+=10(ab)得，ab22xy11+=1ab22(xxx+x+y+y−)y(y)()()12121212，作差，得：+=0；2222xy22ab+=1ab2222y1−+y2y1y2byy12−2y0=−b所以，=−，即，，22x1−+x2x1x2ax

3、1−x22x0a222ba−c22所以kk=−=−=−(1−e)=e−1.ABOM22aa作业帮一课周永亮老师独家编辑22xy性质2：AB是椭圆+=10(ab)上过原点的弦，P是椭圆上异于AB、的任意一点，22ab2则kke=−1；（此性质也称为椭圆的第三定义）PAPB2双曲线中的结论同样为：kke=−1．PAPB22xyAB是双曲线−=1上过原点的弦，P是双曲线上异于AB、的任意一点，则22ab2b2kke==−1.PAPB2ay证明：（三角换元）22xyA已知椭圆方程椭圆+=10(ab)P22ab设Pa(bc

4、os,sin)，F1OF2xAa(bcos,sin)，Ba(−−bcos,sin)，B从而222bbsinbbsinb−sin+−sinsinsinkk==PAPB222aacosaacosa−cos+−coscoscos22(1cos−−−1cos22)()bb2==−−=1e2222aacoscos−作业帮一课周永亮老师独家编辑22xy性质3：椭圆+=10(ab)中，设F、F是椭圆的两个焦点，P为椭圆上任一2212ab+cossin(+)2点．若=PFF，

5、=PFF，则e==；1221sin+sin−cos2y+sinsin(+)2双曲线中的结论为：e==．Psin−sin−sinθ2αβ证明：（正弦定理+和差化积公式）FO1F2x22xy已知椭圆方程椭圆+=10(ab)，22abcc2sinFF12离心率：e====aaPF2sinPFsin++12+++2sincoscossinsin(−−)222又===sinsin++sinsin+−−2sincoscos22222xy已知双曲线方程−=1（a0，

6、b0）22abcc2sinFF12离心率：e====aa2sinsinPFPF−−12作业帮一课周永亮老师独家编辑22xy−=()2性质4：已知双曲线1ab,0，设其渐近线为ykx=，则其离心率ek=+1，22ab1若渐近线的倾斜角为，则离心率e=．cos22xy性质5：已知椭圆+=1(ab0)，两焦点分别为F，F，设焦点三角形PFF中221212ab2=FPF，则cos12−e（此结论也称为最大顶角问题）．12证明：（余弦定理）xy22y已知椭圆+=1（ab0）22abP在△PFF中，12θαβ

7、222PF1PF21+−FF2F1OF2xcos=2PFPF1222(PF1PF21+−FF21−2PFPF)2=2PFPF122244ac−=−12PFPF1222b所以，PFPF=121cos+22222baPFPF+122又==PFPFa=121cos+2222b2所以cos112−=−e2a当且仅当PFPF=时等号成立，此时点P位于短轴端点.1222xy性质6：已知椭圆+=1(ab0)，两焦点分别为F，F，过焦点F的直线与椭圆22121abAF11−交于两点A，B，设直线的倾

8、斜角为，若=，则ecos=．BF1+1作业帮一课周永亮老师独家编辑【经典例题】例1.2016-2017湖北省宜昌市夷陵中学高三期末练习试卷22xy已知椭圆+=10(ab)，直线lx:24y+0−=与椭圆相交于A，B两点，且AB22ab中点M坐标为(2