《应用随机过程》A卷及其参考答案.pdf

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1、《应用随机过程》考试试卷（A卷）（闭卷时间120分钟）院/系年级__专业姓名学号题号一二三四总分得分一、填空题（每小题4分，共16分）得分1、设X是概率空间,F,P上的一个随机变量，且EX存在，C是F的子－域，定义EXC如下：（1）____________________________；（2）___________________________________________________；2、在全数学期望公式EXEEXC中，取X＝____，C＝______，即得连续型（广义）全概率公式_________

2、______________________；3、设Nt,t0是强度为的Poisson过程，X,n1、S,n1分nn别为其时间间隔序列和等待时间序列，则X,X,,X,独立同参数12n为的指数分布，S～________，X～_____________，n1Nt1S1,S2,,SnNtnd__________________________________________；4、倒向随机微分方程（BSDE）典型的数学结构为_____________________________________

3、________，其处理问题的实质在于__________________________________________________________________。二、证明分析题（共10分，选做一题）得分1、设X,t0是独立增量过程，且对每一个t0，EX0，X0；tt02又设EXXFtFs，0st，Ft是t的非减函数，试证明：ts2XtFt,t0关于域流FtXs,0st,t0是鞅；T2、设适应过程2t,0tT满足平方可积条件，即：Etdt

4、0t1t2，令ZtexpudWuudu，则dZttZtdWt，020从而Zt,0tT是一个连续鞅。1三、计算证明题（共60分）得分1、（13分）假设X～E，给定c0，试分别由指数分布的无记忆性、EXIA条件密度和EXA，求EXXc；PA2、（15分，选做一题）（1）设XE，i1,2，且X,X独立，试ii12由条件数学期望的一般定义以及初等条件概率定义的极限分别求EIX1X2X1X2tPX1X2X1

5、X2t，t0；（2）设X1,X2,,Xn独立同U0,1分布，YmaxX,X,,X，试分别由条件数学期望的直12n观方法和条件数学期望的一般定义求EXYEXY；1123、（10分）设有概率空间,F,P0,1,0,1,m，其上随机变量Y2y,y0,1;1122具有密度fy，0Y,Y,Y1，Y0,其他;2233试求EY；4、（10分，选做一题）（1）假设Nt,t0与Nt,t

6、0分别是参数12为与的独立Poisson过程，试求“过程Nt的任意两个相邻事件121的时间间隔内，过程Nt恰好有k个事件到达（发生）”的概率；（2）2设Wt,t0为一维标准布朗运动，试求：11（a）PW00,W12,W23；（b）PWtdt；035、（12分，选做一题）（1）设随机变量X与U相互独立，X的密度函数为px，U服从0,1上的均匀分布，又函数qx满足条件：px（a）qx0，且qxdx1；（b）存在a0，使得a

7、（当px0qxqx时），令rxa（当px0时，规定rx0）；又记MUrX，px3z试证明：PXzMqxdx，即X在M发生的条件下的条件密度12cWtct函数恰是qx；（2）设有SDE：dX(aXbX)dtcXdW，Me2，tttttt试证：ⅰ）dMXM(aXbX)dt；ⅱ）令YMX，并证明其满tttttttt112dYcWtctdZa足ODE：taYbe24Y；ⅲ）求证：ZY满足tZtttttdtdt221c2ab1c

8、W1c2tcW1c2tatbtcWss2t4t2242e；ⅳ）通过解Z证明：XeedsX。tt0220四、应用分析题（共14分）得分试从对冲欧式看涨期权空头的角度导