2017年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答.pdf

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1、中学生数学·２０１７年８月上·第５６７期（高中）２０１７年北京市中学生数学竞赛数高一年级复赛试题及解答学２０１７年５月１４日８：３０～１０：３０竞一、填空题（满分４０分，每小题８分）所以Ｓ＝２．赛１．ＡＢ是长为８的一条线段，点Ｐ到ＡＢ所在直线３．已知，对任意的ｘ∈［０，１］，都有｜ａｘ＋ｂ｜≤１，则之的距离为３，则ＡＰ·ＰＢ的最小值等于．｜ｂｘ＋ａ｜的最大值是．答：２４．答：２．窗解由Ｐ向ＡＢ所在的解设ｆ（ｘ）＝ａｘ＋ｂ，则ｂ＝ｆ（０），ａ＝ｆ（１）－直线引垂线，垂足为Ｈ，易得ｆ（０），所以，１１｜ｂｘ＋ａ｜＝｜

2、ｆ（０）·ｘ＋ｆ（１）－ｆ（０）｜＝｜ｆ（０）·（ｘＡＢ·ＰＨ＝Ｓ△ＰＡＢ＝ＡＰ２２－１）＋ｆ（１）｜≤｜ｆ（０）｜·｜ｘ－１｜＋｜ｆ（１）｜≤１＋１＝２．·ＰＢ·ｓｉｎ∠ＡＰＢ，当ａ＝２，ｂ＝－１，ｘ＝０时，取得最大值２．２４所以ＡＰ·ＰＢ＝４．设定义域为（０，＋∞）的增函数ｆ（ｘ）满足：对于ｓｉｎ∠ＡＰＢ图１６６≥２４，当∠ＡＰＢ＝９０°时等号任意ｘ∈（０，＋∞）都有ｆ（ｘ）＞－，且ｆ（ｆ（ｘ）＋）ｘｘ成立．＝５，则ｆ（１０）＝．事实上，我们以ＡＢ＝８为直径作⊙Ｏ，在ＡＢ的一１２答：．侧作与ＡＢ距离等于３的平

3、行线，交⊙Ｏ于点Ｐ和Ｐ１，５连接ＡＰ、ＢＰ，则△ＡＰＢ中，∠ＡＰＢ＝９０°，有ＡＰ·ＰＢ解设ｆ（ａ）＝５（ａ＞０），由增函数概念可得ｆ（ａ）＝ＡＢ·ＰＨ＝２４．６６６＋＝ａ，所以有５＋＝ａ，即ａ＝３，所以ｆ（ｘ）＋ａａｘ２在直线ｙ＝１，ｙ＝２，ｙ＝３上截２．抛物线ｙ＝槡２ｘ６１２出三条线段，则以这三条线段为边构成的三角形面积＝３，因此ｆ（１０）＝３－１０＝５．等于．５．集合Ａ＝｛ｎ｜ｎ∈Ｎ，１１｜Ｓ（ｎ），１１｜Ｓ（ｎ＋１）｝，其答：２．中Ｓ（ｍ）表示自然数ｍ的数字和，则Ａ中的最小数是解因为直线ｙ＝１，ｙ＝２，ｙ

4、＝３都与已知抛物线．ｙ＝槡２ｘ２交于关于纵坐标轴对称的两个点，所以条件答：２８９９９９９．中三条线段的长为２ｘ１，２ｘ２，２ｘ３，其中ｘ１，ｘ２，ｘ３是方解记Ａ中的最小数ｎ＝ａ１ａ２…ａｔ－１ａ１，Ｓ（ｎ）＝ａ１＋ａ２＋…＋ａｔ－１＋ａｔ，如果ｎ的个位数字ａｔ≠９，则ｎ＋１程槡２ｘ２１＝１，槡２ｘ２２＝２，槡２ｘ２３＝３的正根．因此，ｘ２１＝槡２，２＝ａ１ａ２…ａｔ－１ａ′ｔ，（其中ａ′ｔ＝ａｔ＋１），则２，ｘ２３槡２２Ｓ（ｎ＋１）＝ａ１＋ａ２＋…＋ａｔ－１＋ａ′ｔ＝ａ１＋ａ２＋…＋ｘ２＝槡２３＝．三条线段的平（

5、２ｘ１）＝２槡２，２ａｔ－１＋（ａｔ＋１），（２ｘ）２２２＝４槡２，（２ｘ３）＝６槡２，由题意知２２２ａ而（２ｘ１）＋（２ｘ２）＝２槡２＋４槡２＝６槡２＝（２ｘ３），１＋ａ２＋…＋ａｔ－１＋ａｔ＝１１ｐ１，所以长为２ｘ１，２ｘ２，２ｘ３的三条线段为边构成的三ａ１＋ａ２＋…＋ａｔ－１＋（ａｔ＋１）＝１１ｐ２，角形为直角三角形，长为２ｘ１，２ｘ２的两条线段为两条由以上两式可得１１（ｐ２－ｐ１）＝１，得出矛盾！直角边，设该直角三角形面积为Ｓ，则所以ａｔ＝９．１设ｎ的末ｋ位数字均是９，则有２２２２２Ｓ＝（×２ｘ１×２ｘ２

6、）＝（２ｘ１ｘ２）＝４ｘ１ｘ１＝４×２槡２×槡２＝４．２网址：ｚｘｓｓ．ｃｂｐｔ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ·３３·投稿邮箱：ｚｘｓｓ２４８６＠１６３．ｃｏｍ中学生数学·２０１７年８月上·第５６７期（高中）Ｓ（ｎ）＝ａ１＋ａ２＋…＋ａｔ－ｋ＋９ｋ＝１１ｐ１，－ｆ（－１）·ｆ（１），ｆ（１）＝２，得ｆ（－１）＝－２；取ｘ＝－数Ｓ（ｎ＋１）＝ａ１＋ａ２＋…＋（ａｔ－ｋ＋１）＋０×ｋ＝１１ｐ２，１，由题设有ｆ（ｙ）＝ｆ（－ｙ）＋２ｆ（ｙ）．由以上两式可得１１（ｐ１－ｐ２）＝９ｋ－１．所以，ｆ（－ｙ）＝－ｆ（ｙ）．即ｆ（ｘ）是奇函

7、数．学对于最小的ｎ，有最小的自然数ｋ，使１１｜（９ｋ－１）．（２）由ｆ（ｘ）是奇函数，所以ｆ（０）＝０；竞经实验知，ｋ＝１，２，３，４不合题意，当ｋ＝５时，９×５－１取ｘ＝０，由题设有ｆ（１＋ｙ）＝ｆ（１－ｙ），＝４４是１１的倍数，这时ｐ１－ｐ２＝４．可见ｎ的末５位所以ｆ（ｘ）的图像关于直线ｘ＝１对称；赛数全是９．所以，ｘ∈Ｒ，有ｆ（ｘ＋４）＝ｆ（１＋（ｘ＋３））＝之取最小的ｎ使ｐ１－ｐ２＝４，则ｐ１＝５，ｐ２＝１，ｆ（１－（ｘ＋３））＝ｆ（－ｘ－２）＝－ｆ（ｘ＋２）＝－ｆ（－ｘ）＝即Ｓ（ｎ）＝５５，Ｓ（ｎ＋１

8、）＝１１．ｆ（ｘ），所以ｆ（ｘ）是以４为周期的函数，窗由ａ１＋ａ２＋…＋ａｔ－ｋ＋９×５＝５５，得ａ１＋ａ２＋…所以ｆ（２０１７）＝ｆ（１）＝２；＋ａｔ－ｋ＝１０＞９，所以ｔ－ｋ≥２，又ｋ＝５，所以最小的ｎ又因为ｆ（０）＝０，所以ｆ（２）＝０，为７位数，前两位数字和为１０，ｎ＝２８９９９９９，ｎ＋１＝所以ｆ（ｆ（２０１７））＝ｆ（２）＝０．２９０００００．四、（满分１５分