2019东南赛试题详细解答与评析.pdf

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1、2019东南赛乙一1高一年级组题1.求最大的实数k,使得对任意正数a,b,均有2(a+b)(ab+1)(b+1)≥kab答案1.原不等式222⇔(ab+(1+b)a+b)(b+1)≥kabÅã2b2⇔ab+(1+b)+(b+1)≥kba单独考虑左边,左边可以看成是一个a的函数,b为参数,那么关于a取最小值的时候有ÅãÇ…å2bb23ab+(1+b)+(b+1)≥2ab·+(1+b)(b+1)=(b+1)aa于是我们只需要取k≤(b+1)3b−2即可.(b+1)3(b+1)2(b−2)设f(b)=,那么f′(b)=,演算可知b=2是f的

2、极小值b2b3点,那么f=f(2)=27,即k=27,取极值时有a=1,b=2.min4max4评析1.不等号的左边和右边都不对称,但是右边只是一个kab2,所以可以考虑一下类似于分离变量的方法把a或b2挪到左边去.本答案用的是把a挪到左边的方法,把b2挪到左边也有类似的做法,但是会变得比较复杂,有兴趣的同学不妨一试.1该题做法非常多,本篇答案给出的做法只是一种以高中课本知识即可解决的方法,但是如果不想用到函数求导这种比较偏流氓的方法的话,纯粹不等式的方法也是可行的.比如,ÅãÅãÅãbbababbb(a+b)(ab+1)(b+1)=

3、a++++1++1222222Åã1/3Åã1/3Åã1/3bbababbb≥3a···3··1·3··1222222272=ab4题2.如图,两圆Γ1,Γ2交于A,B两点,C,D为Γ1上两点,E,F为Γ2上两点,满足A,B分别在线段CE,DF内,且线段CE,DF不相交.设CF于Γ1,Γ2分别交于点K(,C),L(,F),DE于Γ1,Γ2分别交于点M(,D),N(,E),EACLMNKDBF证明:若△ALM的外接圆与△BKN的外接圆相切,则这两个外接圆的半径相等.2答案2.如图,记G为CF,DE的交点,△ALM和△BKN的外接圆圆心为

4、OA,OB,取两圆切线上任意一点为H1,切线另一边的任意一点为H2,连接CD,LN,AB,MK,EF,OAOB,EAC•LMH1NGKH2•DBF由于∠DCA+∠DBA=∠FBA+∠FEA=180◦,我们有∠DCA+∠FEA=180◦,即CDEF.另外,由圆幂定理我们有△GLN∼△GEF,△GKM∼△GDC,于是我们有∠GLN=∠GDC=∠GEF=∠GKM,即LNMK.另一方面,那么因为CDEF,我们有∠LGM=∠CDG+∠EFG=180◦−∠CAM+180◦−∠EAL=180◦−∠LAM,即G在⊙O上.同理G在⊙OAB上.由于⊙OA

5、与⊙OB相切,我们知道G在OAOB上.那这个时候G在LK,MN,OAOB上,我们知道∠GKN=∠NGH1=∠MGH2=∠GLM,故LMKN.由于LNKM,我们知道LMKN是一个平行四边形,那么△LGM△KGN,那么两个三角形的外接圆半径相等,△ALM和△BKN的外接圆半径相等.评析2.熟悉平面几何的同学应该很快就可以凭经验知道CDEF,LNMK,且G在这两个外接圆上.余下的部分,多观察题图可以猜测LMNK,如果有这一条的话我们很容易推出两个外接圆的半径相等,剩下就是一些比3较角度的工作.总体来说本题偏简单.题3.函数f:N∗→N∗满

6、足:对任意正整数a,b,均有f(ab)整除max{f(a),b},是否一定存在无穷多个正整数k,使得f(k)=1?证明你的结论.答案3.一定存在无穷多个这样的k,使得f(k)=1.若不然,假设只有有限多个k使得f(k)=1,我们分两种情况讨论.若这样的k不止一个,那我们可以取到最大的一个,还是记为k,那么对任意n>k,我们有f(n)>1.对任意一个素数p,由于pk>k,我们有f(pk)>1.但是由于f(pk)整除max{f(k),p}=max{1,p}=p,我们知道f(pk)=p.对任意两个素数p,q,不妨p≤q,那么f(pqk)整除

7、max{f(pk),q}=max{p,q}=q.那么我们现在考虑三个素数p,q,r满足p≤q≤r,但是pq>r,(比如,p=2,q=3,r=5).那么一方面,f(pqrk)整除max{f(rk),pq}=max{r,pq}=pq.另一方面,f(pqrk)整除max{f(pqk),r}=max{q,r}=r.但是(pq,r)=1,所以f(pqrk)

8、1,即f(pqrk)=1.但是pqrk>k,矛盾.所以一定存在无穷多个k,使得f(k)=1.评析3.欧几里德证明素数无限的方法是数论里面很典范的一种证明方式,在证明某一类数字有无限多个的时候

9、,通过反证假设这一类数字只有有限个,不妨设为k1