高等代数试题及答案.doc

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1、中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷数学科学学院《高等代数》课程试题(A卷)优选专业年级XXXXXXX学号姓名授课教师座号----------------装----------------订----------------线----------------共2页第1页考试说明:本课程为闭卷考试,可携带文具,满分为:100分.题号一二三四五六七八总分得分一.判断题(每题2分,共10分)1.线性空间V=+,则dim+dim=dimV.()2.特征向量的和仍是特征向量.()3.欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的.()4.一个线性变换的不变

2、子空间之和仍是它的不变子空间.()5.全体阶上三角矩阵对于矩阵的加法和数乘构成实数域上的线性空间.()二(20分)已知,.求的特征值和特征向量,并求一正交阵使成对角形.三(20分)设是数域上形如的循环矩阵的集合,(1)证明:是线性空间的子空间.(2)证明:有.(3)求的维数和一组基.四(10分)设为3阶复数矩阵,与等价.,求的若当标准形.授课教师命题教师或命题负责人签字年月日院系负责人签字年月日共2页第2页五(10分)证明:设为n级矩阵,是矩阵的最小多项式,则多项式以为根的充要条件是

3、.六(10分)设V是数域上的n维线性空间,是上的线性变换,且.证明

4、:的值域与核都是的不变子空间.七(10分)设阶矩阵,,求的最小多项式.八(10分)设是数域上线性空间上的线性变换,多项式互素,且满足(零变换)求证:中国海洋大学XXXX-XXXX学年第X学期期末考试试卷学院《XXXXXXXX》课程试题(A卷)优选专业年级XXXXXXX学号姓名授课教师座号----------------装----------------订----------------线----------------优选专业年级XXXXXXX学号姓名授课教师座号----------------装----------------订----------

5、------线----------------共页第页中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试数学科学学院《高等代数》试题(A卷)答案一.判断题1.×2.×3.×4.√5.√二.解:=,,所以特征值为0,4(3重).将特征值代入,求解线性方程组,得4个线性无关的特征向量(答案可以不唯一),再正交单位化,得4个单位正交向量:,,,.所以正交阵而.三.证:(1)验证即可.(2)令,为循环阵,,(为阶单位阵)则在上线性无关.且,令有.,必上次多项式,使,反之亦真.(3)由上可知:是的一组基,且.四.解:A的行列式因子为,.所以,不变因子为,,初等

6、因子为,因而A的Jordan标准形为五.证::设,或.所以,因而.因为为最小多项式,所以..六.证:在的核中任取一向量,则所以在下的像是零,即.即证明了是的不变子空间.在的值域中任取一向量,则.因此,也是的不变子空间.综上,的值域与核都是的不变子空间.七.解:当时,由于,当时,由于,八.证:先证,显然,互素,使得(单位变换)设再证:是直和

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