数列专项练习及答案.doc

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1、(二)数列专项练习1.(本小题满分12分)已知数列满足,(I)证明:数列是等比数列,并求出的通项公式;(II)设数列满足,证明:对一切正整数.2.(本小题满分12分)已知数列是等差数列,为的前项和,且,;数列对任意,总有成立.(Ⅰ)求数列和的通项公式;(Ⅱ)记,求数列的前项和.3.(本小题满分12分)已知数列是递增的等比数列,,.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)若,求数列的前项和.4.已知双曲线=1的一个焦点为,一条渐近线方程为y=x,其中{an}是以4为首项的正数数列.(Ⅰ)求数列{cn}的通项公式;(Ⅱ)

2、若不等式对一切正常整数n恒成立,求实数x的取值范围.5.已知正项数列{an},其前n项和Sn满足,且a2是a1和a7的等比中项.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)符号[x]表示不超过实数x的最大整数,记,求.6.(本小题满分12分)单调递增数列的前行项和为,且满足.(I)求数列的通项公式;(Ⅱ)数列满足:。求数列的前n项和。(二)数列专项练习答案1.解:由,可得…………2分是首项为2,公比为2的等比数列,即…………3分2..(本小题满分12分)解:(Ⅰ)设的公差为,则解得,所以………3分所以……①当,……②①②

3、两式相除得因为当适合上式,所以………………………………6分(Ⅱ)由已知,得则………………………7分当为偶数时,………………………………………………………………9分当为奇数时,……………………………………………………………11分综上:…………………………………………………………12分3.(本小题满分12分)【解析】解法一:(Ⅰ)由即……………2分消得,解得或,或……….4分是递增数列,.…….6分(Ⅱ)………………….7分…………….8分…………….12分解法二:(Ⅰ)因为是等比数列,,所以………………………

4、.1分又,是方程的两根,或……….3分是递增数列,………….4分.…………….5分.……….6分(Ⅱ)同解法一.4..考点:直线与圆锥曲线的综合问题.专题:圆锥曲线中的最值与范围问题.分析:(Ⅰ)由于双曲线方程为的一个焦点为(,0),可得cn=an+an﹣1.由于一条渐近线方程为,可得,即=2,利用等比数列的通项公式即可得出.(II)设Tn=+…+,利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式可得Tn=﹣﹣,故原不等式等价于+logax恒成立,化为logax≥0.由于a>1,即可得出.解答:解:(Ⅰ)∵双曲线

5、方程为的一个焦点为(,0),∴cn=an+an﹣1.又∵一条渐近线方程为,∴,即=2,∴=2n+1.∴=3×2n.(II)设Tn=+…+①,=②,①﹣②得,•==,∴Tn=﹣﹣,故原不等式等价于+logax恒成立,∴logax≥0.∵a>1,∴x≥1,∴实数x的取值范围是[1,+∞). 5.解答:解:(Ⅰ)由①得②①﹣②得:8an=(an﹣an﹣1)(an+an﹣1)+4an﹣4an﹣1,整理得:(an﹣an﹣1﹣4)(an+an﹣1)=0(n≥2,n∈N),∵{an}为正项数列,∴an+an﹣1>0,则a

6、n﹣an﹣1=4(n≥2,n∈N),∴{an}为公差为4的等差数列,由,得a1=3或a1=1,当a1=3时,a2=7,a7=27,不满足a2是a1和a7的等比中项.当a1=1时,a2=5,a7=25,满足a2是a1和a7的等比中项.∴an=1+(n﹣1)×4=4n﹣3;(Ⅱ)由an=4n﹣3,得,由符号[x]表示不超过实数x的最大整数知,当2m≤n<2m+1时,[log2n]=m,令=0+1+1+2+…+3+…+4+…+n﹣1+…+n∴S=1×21+2×22+3×23+4×24+(n﹣1)×2n﹣1+n①2

7、S=1×22+2×23+3×24+4×25+(n﹣1)×2n+2n②①﹣②得:=,∴S=(n﹣2)2n+n+2,即=(n﹣2)2n+n+2.6.

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