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1、第二十二章曲面积分教学目的：1.理解第一、二型曲面积分的有关概念，并掌握其计算方法，同时明确它们的联系；2.掌握高斯公式与斯托克斯公式；3.理解有关场的概念，掌握梯度场、散度场、旋度场、管理场与有势场的性质及应用。教学重点难点：本章的重点是曲面积分的概念、计算；难点是第二型曲面积分。教学时数：18学时§1第一型曲面积分一.第一型面积分的定义:1. 几何体的质量:已知密度函数,分析平面区域、空间几何体的质量定义及计算2. 曲面的质量:3. 第一型面积分的定义:定义及记法.,面积
2、分.4. 第一型面积分的性质:二.第一型面积分的计算:1. 第一型曲面积分的计算:Th22.2设有光滑曲面.为上的连续函数,则.例4计算积分,其中是球面被平面所截的顶部.P281§2第二型曲面积分一.曲面的侧:1. 单侧曲面与双侧曲面:2.双侧曲面的定向:曲面的上、下侧，左、右侧，前、后侧.设法向量为,则上侧法线方向对应第三个分量,即选“+”号时，应有，亦即法线方向与轴正向成锐角.类似确定其余各侧的法线方向闭合曲面分内侧和外侧.二.第二型曲面积分:1.稳流场的流量:以磁场为例
3、.P284 2.第二型曲面积分的定义:P284.闭合曲面上的积分及记法.3.第二型曲面积分的性质:线性,关于积分曲面块的可加性.4.第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系:设为曲面的指定法向,则. 三.第二型曲面积分的计算:Th22.2设是定义在光滑曲面D上的连续函数,以的上侧为正侧(即),则有.证P 类似地,对光滑曲面D,在其前侧上的积分.对光滑曲面D,在其右侧上的积分.计算积分时,通常分开来计算三个积分,,.为此,分别把曲面投影到YZ平面,ZX平面和XY平面上化为二重积分进行计算.投影域的侧由曲面的定向决定. 例1计算积
4、分,其中是球面在部分取外侧.P287例2计算积分，为球面取外侧.解对积分,分别用和记前半球面和后半球面的外侧,则有:;:.因此,=+=.对积分,分别用和记右半球面和左半球面的外侧,则有:;:.因此,+=.对积分,分别用和记上半球面和下半球面的外侧,则有:;:.因此,=+=.综上,=.§3Gauss公式和Stokes公式一.Gauss公式:Th22.6设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面围成.若函数在V上连续,且有连续的一阶偏导数,则,其中取外侧. 称上述公式为Gauss公式或Остроградский―Gauss公式.证只
5、证.设V是型区域(即型体),其边界曲面由曲面下侧,D,上侧,D..以及垂直于平面的柱面(外侧)组成.注意到=,有==.可类证,.以上三式相加,即得Gauss公式.例1计算积分，为球面取外侧.解.由Gauss公式.例2计算积分，其中是边长为的正方体V的表面取外侧.V:.P291解应用Gauss公式,有.例1 计算积分，为锥面在平面下方的部分，取外法线方向.解设为圆取上侧,则构成由其所围锥体V的表面外侧,由Gauss公式,有=锥体V的体积;而因而,.例1 设V是三维空间的区域,其内任何封
6、闭曲面都可不通过V外的点连续收缩为V上的一点.又设函数、和在V上有连续的偏导数.表示V内任一不自交的光滑封闭曲面,是的外法线.试证明:对V内任意曲面恒有的充要条件是在V内处处成立.证.由Gauss公式直接得到.反设不然,即存在点V,使,不妨设其.由在点连续,存在以点为中心且在V内的小球,使在其内有.以表示小球的表面外侧,就有,与矛盾.二.Stokes公式:空间双侧曲面的正侧与其边界闭合曲线L正向的匹配关系:右手螺旋法则,即当人站在曲面的正侧上,沿边界曲线L行走时,若曲面在左侧,则把人的前进方向定为L的正向.1.Stokes
7、定理:Th22.7设光滑曲面的边界L是按段光滑的连续曲线.若函数、和在(连同L)上连续,且有一阶连续的偏导数,则.其中的侧与L的方向按右手法则确定. 称该公式为Stokes公式.证先证式.具体证明参阅P292.Stokes公式也记为.例5计算积分,其中L为平面与各坐标平面的交线,方向为:从平面的上方往下看为逆时针方向.P294 2.空间曲线上第二型曲线积分与路径无关性:空间单连通、复连通域.Th22.5设R为空间单连通区域.若函数、和在上连续,且有一阶连续的偏导数,则以下四个条件等价:ⅰ>对于内任一按段光滑的封闭曲线L,有
8、;ⅱ>对于内任一按段光滑的封闭曲线L,曲线积分与路径无关;ⅲ>是内某一函数的全微分;ⅳ>在内处处成立.P2943.恰当微分的原函数:恰当微分的验证及原函数求法.例6验证曲线积分与路径无关,并求被积表达式的原函数.P295
