电磁场yu电磁波 ppt 第一章 矢量分析基础课件.ppt

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1、Chapter1  矢量分析§1.3 标量场和矢量场§1.4 矢量的通量和散度§1.5 矢量的环流和旋度§1.6 标量场的梯度§1.7 赫姆霍兹定律§1.1 矢量代数§1.2不同坐标系的单位矢量与面元§1.1 矢量代数1、矢量的加法和减法2、矢量的点积（标量积）3、矢量的叉积（矢量积）1矢量的加法和减法矢量相加和相减就是分别将矢量的各分量相加和相减，如上图所示。如：2矢量的点积（标积）两个矢量A和B的点积定义为：点积的结果C是一个数量（标量），而不是一个矢量，其结果为：如图所示：在直角坐标系中，假设：则:3矢量的叉积（矢量积）两个矢量的叉积定义为：矢量的叉积还是一个

2、矢量，叉积得到的新的矢量方向垂直于由叉积矢量构成的平面，方向满足右手螺旋法则，如下图所示。其模值为：在直角坐标系下，叉积可以表示为：§1.2常用正交坐标系在求解具体的物理问题时，常常需要引入与给定问题的几何形状相对应的坐标系。熟悉的直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。在广义正交坐标系中，坐标变量用u1，u2和u3表示，相应地，空间一点P的坐标为P(u1，u2，u3）正交曲线坐标系中，单位矢量分别为“au1，au2和au3，三者互相正交：矢量A在正交坐标系中可表示为：1矢量微分元在矢量微积分中，经常要进行曲线积分、曲面积分和体积分，需要写出对应的微分元，如微分长度、微分

3、面积和微分体积，它们分别称为线元、面元和体元。值得注意的是这里的线元和面元均为矢量，是有方向的。在广义正交曲线坐标系中。坐标变量u1、u2、u3的度量不一定是长度，可能是角度。坐标变量的微分增量所对应的线元为：其中hl，h2和h3称为拉梅系数。一任意矢量线元可表示为：一空间曲面的矢量面元可表示为：在广义正交坐标系中，单位矢量对应的微分面元为：线元组成的体积元为标量：2直角坐标系在直角坐标系中坐标变量（u1，u2，u3）=（x，y，z），坐标x，y和z都是长度量，拉梅系数均为1，即h1＝h2＝h3＝1。分别得线元、面元和体元的表达式为：直角坐标系的微分元axayaz3

4、圆柱坐标系坐标变量(u1，u2，u3)=(r，φ，z)，点P（r，φ，z)是r＝r1的圆柱面和φ＝φ1的平面及z=z1的平面的交点。如下图所示。圆柱坐标系圆柱坐标系的微分元圆柱坐标系中r和z是长度量，φ为角度量，其拉梅系数为：h1=1，h2=r，h3=1。分别得线元、面元和体元的表达式为：4球坐标系坐标变量(u1，u2，u3)=(R，θ，φ)，点P（R，θ，φ)是R＝R1的球面和θ＝θ1的圆锥面及φ=φ1的平面的交点。如下图所示。其拉梅系数为：h1=1，h2=R，h3=Rsinθ球坐标系中的微分元相应地，线元、面元和体元的表达式分别为：附：1、矢量在不同坐标系中的变

5、换。如：圆柱坐标系与直角坐标系间的变换球坐标系与直角坐标系间的变换附：2不同坐标系中单位矢的互换。如：直角坐标系和圆柱坐标系单位矢量的互换可写成矩阵形式:同理可得:类似地,可得出球坐标系与直角坐标系单位矢量间的变换矩阵.（见教材附录）§1.3标量场和矢量场1、场的概念若某一个物理量在全部空间或一部分空间的每一点有确定的量,这样就确定了这个量的一个场。场的一个重要属性是它占有一个空间，它把物理状态作为空间（r）和时间（t）的函数来描述。数量场：按上述场的定义,若给定的量是数量,则这个场叫做数量场,又称为标量场。如：温度场、密度场、电位场等是标量场矢量场：若给定的量是矢

6、量,则它确定的场叫做矢量场。流速场、电场、磁场等是矢量场研究标量场和矢量场时，以“场图”表示场变量在空间逐点演变的情况具有很大的意义。对于标量场φ(r)，其场图用“等值面”所示。空间内标量值相等的点集合形成的曲面称为等值面。例如气象图上的等压线，地图上的等高线等。显然，等值面的方程式为：对于矢量场F(r)，则用一些有向曲线来形象地表示矢量在空间的分布．称为力线或流线，力线上任意点的切线方向必定与该点的矢量方向相同，即：该式称为力线的微分方程式。在直角坐标内，它可写成：标量场的场图—等值面图矢量场的场图—力线图r1r2在圆柱坐标中，它可写成：一般地可写成：（力线方程的

7、求解，请阅读教材P3例题1.2.1和1.2.2）静态场：如果场的变化与时间无关，这样的场我们就称为静态场。例如：在直角坐标系中，静态的矢量场可表示为时变场：场的物理状态随时间变化的场称为时变场。§1.4 矢量的通量和散度1、通量的定义1.1、面元矢量一个面元矢量除了它的大小以外，它在空间还有一定的取向，我们用一个矢量表示面元。取与面元相垂直的单位矢表示该面元矢量的方向。面元矢量表示为：面元矢量方向的定义：（1）开表面：由闭合曲线围成的开表面，面元矢量的方向与闭合曲线的绕行方向满足右手螺旋法则（2）闭合面：面元矢量的方向一般定义为指向闭合面的外法线方向。在直角坐标