电磁场(第一章)矢量分析课件.ppt

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1、第一章矢量分析§1.1矢量表示法和代数运算§1.2通量与散度，散度定理§1.3环量与旋度，斯托克斯定理§1.5曲面坐标系§1.6亥姆霍兹定理§1.4方向导数与梯度，格林定理§1.1矢量表示法和代数运算1.1.1矢量表示法及其和差●仅用大小就能够完整描述的物理量称为标量。习惯上用黑体符号或在符号上加箭头来表示矢量。●具有大小和方向的物理量称为矢量。●模值（大小）为1的矢量称为单位矢量。用符号上加“＾”来表示。●一个矢量可用直角坐标系中的三个坐标分量Ax、Ay、Az来表示，xyzOAxAyAzαβγ两矢量的和或差也可用平行四边形法求得。1.1.2标

2、量积（点乘）和矢量积（叉乘）●两矢量的点乘是一标量，等于两个矢量模值相乘，再乘以它们夹角αAB（αAB≤π）的余弦：它就是一个矢量1的模与另一个矢量2在该矢量1上的投影的乘积。●两矢量的叉乘是一矢量。其大小等于两个矢量模值相乘，再乘以它们夹角αAB（≤π）的正弦：其方向与两矢量成右手螺旋关系，为两矢量所在平面的右手法向。就是两矢量所形成的平行四边形的面积。每一分量都是由两项的差组成；每一项的下标不含该分量符号；若每一项由A的分量乘以B的分量，则和的下标顺序是：x→y→z→x；差的是：z→y→x→z。1.1.3三重积就是三矢量所构成的平行六面体的

3、体积。例题：给定三矢量求：（1）A；解：（1）（2）（3）（4）θAB；1.2.1通量§1.2通量与散度，散度定理矢量场的通量1.2.2散度，哈密顿算子1、哈密顿算子2、散度是标量表示单位体积中的通量1.2.3散度定理（高斯公式）定理的内容：矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总通量，即例1.1点电荷q在离其r处产生的电通量密度为求任意点处电通量密度的散度，并求穿出以r为半径的球面的电通量Ψe。例1.2球面S上任意点的位置矢量为§1.3环量与旋度，斯托克斯定理1.3.1环量环量不为零时表示存在旋涡源。1.3.2旋度的定义和运算（

4、直角坐标系）拉普拉斯算子若某区域中各点的旋度都等于零，则称为无旋场或保守场。1.3.3斯托克斯定理定理内容：矢量场在封闭曲线l上的环量等于l所包围的曲面S上的旋度之总和，例1.3自由空间中的点电荷q所产生的电场强度为求任意点处（r≠0）电场强度的旋度。例1.4证明下述矢量斯托克斯定理：式中S为包围体积V的封闭面。§1.4方向导数与梯度，格林公式1.4.1方向导数与梯度●标量场u（x，y，z）在某点沿l方向的变化率称为u沿该方向的方向导数●引入矢性函数称为梯度。标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数。梯度的大小是标量场u在该点的最大变化率，即

5、最大方向导数。梯度的方向是u在该点最大方向导数的方向。●标量函数u（x，y，z）（常数）的曲面称为等值面。标量函数u（x，y，）（常数）的曲线称为等值线。等值线梯度的方向与过该点的等值面相垂直，并指向u增大的方向。等值面的法线方向单位矢量为1.4.2格林公式例1.5参看下图，场点P与源点P′间距离为R，试证xyzORP(x,y,z)r例1.6在点电荷q的静电场中，P(x,y,z)点的电位为求P点的电位梯度。（静电场）§1.5曲面坐标系1.5.1圆柱坐标系（简称柱坐标系）在柱坐标系中，点P的位置变量是：（方向随P点位置改变）——以Oz轴为轴的圆柱

6、面。——以Oz轴为界的半平面。——平行于xOy平面的平面。各方向上的长度增量与相应的坐标增量之比称为度量系数，又称拉梅系数。1.5.2球面坐标系（简称球坐标）它们分别称为矢径长度、极角和方位角。——以原点O为球心的球面。——以Oz轴为轴的圆锥面。——以Oz轴为界的半平面。（方向随P点位置改变）1.5.3三种坐标的变换及场论表示式●柱坐标与直角坐标的变换●球坐标与直角坐标的变换●柱坐标和球坐标中散度和旋度的表达式例1.7在一对相距为l的点电荷+q和-q（电偶极子）的静电场中，距离r＞＞l处的电位为§1.6亥姆霍兹定理定理的内容：若矢量场在无限空间

7、中处处单值，且其导数连续有界，而源分布在有限区域中，则矢量场由其散度和旋度唯一地确定。并且，它可以表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和，即