傅里叶变换和拉普拉斯变换地性质及指导应用.doc

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1、1.前言1.1背景利用变换可简化运算，比如对数变换，极坐标变换等。类似的，变换也存在于工程，技术领域，它就是积分变换。积分变换的使用，可以使求解微分方程的过程得到简化，比如乘积可以转化为卷积。什么是积分变换呢？即为利用含参变量积分，把一个属于A函数类的函数转化属于B函数类的一个函数。傅里叶变换和拉普拉斯变换是两种重要积分变换。傅里叶变换能够分析信号的成分，可以当做信号的成分的波形有很多，例如锯傅立叶变换是利用正弦波来作为信号的成分。（拉普拉斯）（1749-1827）在他的与概率论相关科学研究中引入，在

2、他的一些基本的关于拉普拉斯变换的结果写在他的著名作品《概率分析理论》之中。即使在19世纪初，拉普拉斯变换已经发现，但是关于拉普拉斯变换的相关研究却一直没什么太大进展，直至一个英国数学家，物理学家，同时也是一位电气工程师的OliverHeaviside奥利弗·亥维赛（1850-1925）在电学相关问题之中引入了算子运算，而且得到了不少方法与结果，对于解决现实问题很有好处，这才引起了数学家对算子理论的严格化的兴趣。之后才创立了现代算子理论。算子理论最初的理论依据就是拉普拉斯变换的相关理论，拉普拉斯变换相关

3、理论的继续发展也是得益于算理理论的更进一步发展。这篇文章就是针对傅里叶变换和拉普拉斯变换的相关定义，相关性质，以及相关应用做一下简要讨论，并且分析傅里叶变换和拉普拉斯变换的区别与联系。1.2预备知识定理1.2.1（傅里叶积分定理）若在（-∞，+∞）上，函数满足一下条件：（1）在任意一个有限闭区间上面满足狄利克雷条件；（2），即在（-∞，+∞）上绝对可积；则的傅里叶积分公式收敛，在它的连续点处在它的间断点处定义1.2.1（傅里叶变换）设函数满足定理1.2.1中的条件，则称为的傅里叶变换，记作。定义1.2

4、.2（傅里叶级数）设函数的周期为T，则它的傅里叶级数为：上式中，定义1.2.3（傅里叶逆变换）定义1.2.4（拉普拉斯变换）若函数满足积分收敛，那么该积分记作式中s为复数，为积分核，上式称为拉普拉斯变换.定义1.2.5（拉普拉斯逆变换）称为F(s)的拉普拉斯逆变换＝-1定义1.2.6（卷积）假如ƒ1(t)和ƒ2(t)是（-∞，+∞）上面有定义的函数，则ƒ1(τ)ƒ2(t-τ)dτ称为ƒ1(t)和ƒ2(t)的卷积，记为ƒ1(t)*ƒ2(t)ƒ1(t)*ƒ2(t)＝ƒ1(τ)ƒ2(t-τ)dτ2.傅里叶变

5、换的性质及应用2.1傅里叶变换的性质性质2.1.1（线性性质）设常数，[ƒ1(t)]，[ƒ2(t)]则：性质2.1.2（位移性质）设＝，则性质2.1.3（微分性质）设＝，在连续或可去间断点仅有有限个，且，则：证明由傅里叶变换的定义有性质2.1.4（积分性质）设，若，则：证明因为故由微分性质得即定理2.1.1（卷积定理）如果，，则有：证明性质2.1.6（Parseval恒等式）如果有F(ω)＝，则有这个式子又叫做Parseval等式。2.2函数及其傅里叶变换定义2.2.1（函数）满足：的函数是函数。定义

6、2.2.2（函数）满足：的函数是函数。定义2.2.3（函数的数学语言表述）的极限叫做函数，记作＝定义2.2.4（函数的数学语言表述）的极限叫做函数，记作＝性质2.2.1（函数的筛选性质）对任意连续函数，有性质2.2.2（函数的相似性质）设a为实常数，则：定义2.2.5（单位阶跃函数）函数是单位阶跃函数在时的导数这里称为单位阶跃函数。性质2.2.3（函数的傅里叶变换）因为所以即和1，和分别构成了傅里叶变换对。2.3傅里叶变换的应用2.3.1求微分积分方程依据傅里叶变换的性质2.1.1,2.1.3，对需要

7、求解的微分方程的两边取傅里叶变换，把它转换成像函数的代数方程，根据这个方程求解得到像函数，接着继续取傅里叶逆变换即可以得到原方程的解，下图是此种解法的步骤，是解这种类型的微分方程的主要方法。例2.3.1求积分方程的解，其中解该积分方程可改写为为的傅里叶正弦逆变换，故有：例2.3.2求积分方程其中是已知函数，而且的傅里叶变换存在。解设，。由定义1.2.6（卷积）可知，方程右端第二项。故对方程两边取傅里叶变换，根据卷积定理可得：所以求出原方程的解：例2.3.3求微分积分方程的解，其中，均为常数，为已知函数

8、解根据傅里叶变换的性质2.1.1（线性性质），性质2.1.3（微分性质），性质2.1.4（积分性质），且记对原方程两边取傅里叶变换：,.而上式的傅里叶逆变换为2.3.2解偏微分方程例2.3.4（一维波动方程的初值问题）用傅里叶变换求定解问题：解由于未知函数中的变化围为，故对方程和初值条件关于取傅里叶变换，记定解问题已经改变为求含参变量的初值问题：是一个关于t：由初值条件可知：因此初值问题的解为：对上面的解取傅里叶逆变换，根据性质2.2.4（函数的筛选性质