函数地周期性与对称性.doc

《函数地周期性与对称性.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第5炼函数的对称性与周期性一、基础知识（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）关于轴对称（当时，恰好就是偶函数）（2）关于轴对称在已知对称轴的情况下，构造形如的等式只需注意两点，一是等式两侧前面的符号相同，且括号前面的符号相反；二是的取值保证为所给对称轴即可。例如：关于轴对称，或得到均可，只是在求函数值方面，一侧是更为方便（3）是偶函数，则，进而可得到：关于轴对称。①要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在中，仅是括号中的一部分，偶函数只是

2、指其中的取相反数时，函数值相等，即，要与以下的命题区分：若是偶函数，则：是偶函数中的占据整个括号，所以是指括号取相反数，则函数值相等，所以有②本结论也可通过图像变换来理解，是偶函数，则关于轴对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称。在已知对称中心的情况下，构造形如的等式同样需注意两点，一是等式两侧和前面的符号均相反；二是的取值保证为所给对称中心即可。例如：关于中心对称，或得到均可，同样在求函数值方面，一侧是更为方便（3）是奇函数，则，进而可得到：关于中心对称。①要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在中，仅是括号中的一

3、部分，奇函数只是指其中的取相反数时，函数值相反，即，要与以下的命题区分：若是奇函数，则：是奇函数中的占据整个括号，所以是指括号取相反数，则函数值相反，所以有②本结论也可通过图像变换来理解，是奇函数，则关于中心对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称。4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：（1）可利用对称性求得某些点的函数值（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称（4）在轴对

4、称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同（二）函数的周期性1、定义：设的定义域为，若对，存在一个非零常数，有，则称函数是一个周期函数，称为的一个周期2、周期性的理解：可理解为间隔为的自变量函数值相等3、若是一个周期函数，则，那么，即也是的一个周期，进而可得：也是的一个周期4、最小正周期：正由第3条所说，也是的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期。然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数5、函数周期性的判定：（1）：可得为周期函数，其周

5、期（2）的周期分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式：所以有：，即周期注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期（3）的周期分析：（4）（为常数）的周期分析：，两式相减可得：（5）（为常数）的周期（6）双对称出周期：若一个函数存在两个对称关系，则是一个周期函数，具体情况如下：（假设）①若的图像关于轴对称，则是周期函数，周期分析：关于轴对称关于轴对称的周期为②若的图像关于中心对称，则是周期函数，周期③若的图像关于轴对称，且关于中心对称，则是周期函数，周期7、函数周期性的

6、作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质。（1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值（2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”（3）单调区间：由于间隔的函数图象相同，所以若在上单调增（减），则在上单调增（减）（4）对称性：如果一个周期为的函数存在一条对称轴（或对称中心），则存在无数条对称轴，其通式为证明：关于轴对称函数的周期为关于轴对称注：其中（3）（4）在三角函数中应用广泛，可作为检验答案的方法二、典型例题：例1：设为定义在上的奇函数，，当时

7、，，则__________思路：由可得：的周期，考虑将用中的函数值进行表示：，此时周期性已经无法再进行调整，考虑利用奇偶性进行微调：，所以答案：例2：定义域为的函数满足，当时，，则（）A.B.C.D.思路：由，可类比函数的周期性，所以考虑将向进行转化：答案：D小炼有话说：虽然不是周期函数，但函数值关系与周期性类似，可理解为：间隔2个单位的自变量，函数值呈2倍关系。所以在思路上仍可沿用周期性的想法，将自变量向已知围进行靠拢。例3：定义在上的函数对任意，都有，则等于（）A.B.C.D.思路：由及所求可联想到周期性，所以考虑，所以是周期为4的周期函数，故

8、，而由已知可得，所以答案：D例4（2009）：定义在上的函数满足，则的值为（）A.B.C.D.思路：所给的特点为才有解析式