等比数列n项和的公式.doc

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1、等比数列前n项和的公式　北京市五十五中韩亦军　　　教学目标　　1．掌握求等比数列前n项和的公式及其推导过程，培养学生创造性的思维．　　2．初步掌握公式的应用，培养学生的解题能力．　　教学重点与难点　　等比数列前n项和公式的推导　　教学过程设计　　　　an=a1qn-1，这个公式的推导使用了迭乘法．　　(复习一下旧知识，为下面推导出前n项和公式作准备，并提供了类比)　　师：今天我们研究已知等比数列的首项a1，公比q，项数n(或n项an)，求它的前n项和Sn的计算公式．　　(给足够的时间鼓励学生对问题自由思考，积极解决)　　生：能不能像推导等比数列通项公式的方法，列出一些等式，然后迭乘或迭加

2、？　　师：可以试试．　　生a1=a1，　　a2=a1q，　　a3=a2q，　　……　　an-1=an-2q，　　an=an-1q．　　将上面n个等式的等号两边分别相加，得　　a1＋a2＋a3＋…＋an-1＋an=a1＋a1q＋a2q＋…＋an-2q＋an-1q　　等号左边就是Sn，右边是……　　(诱导一下)　　师：可将右边适当变形，再观察它与Sn的关系，注意上式对n≥2时成立．　　生：Sn=a1＋q(a1＋a2＋…＋an-2＋an-1)　　师：等号右边括号里是数列{an}若干项的和，可以用什么符号来表示？与Sn的关系又是什么？　　(及时点拔，可加深学生对符号Sn的理解，最后一个问题也是推

3、导公式的关键一步)　　生：等号右边的括号里就是Sn-1，上面等式可以写成　　Sn=a1＋qSn-1=a1＋q(Sn－an)．　　以下只需解出Sn即可．　　(“方程”在中学代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使问题得到解决)　　　　师：(纠错)能否在等号两端同除(1－q)？　　生：应分q=1和q≠1讨论．　　(分类讨论也是重要的数学思想方法)　　　　师：因为S1=a1，所以此式对n=1也成立．(帮助学生完善证明过程)　　生：当q=1时，数列{an}为常数列a1，a1，…，Sn=na1　　(及时归纳小结)　　师：我们根据

4、等比数列的定义，用迭加的方法推导出了等比数列｛an｝的前n项和公式　　(板书)　　如果已知a1，n，q，则当q≠1时，Sn的公式是什么；　　(学生演算、口答，教师板书)　　生：将an=a1qn-1代入，得　　　　生：老师，我还有一种证法．　　师：你是如何证明的？(学生口述，教师板书．)　　当q=1时，Sn=na1．　　师：非常好！这位同学围绕等比数列的基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．　　(公式虽已导出，还可以再引导学生把思维发散开)　　师：还有没有其他的推导方法？　　(板书)　　Sn=a1＋a2＋…＋an-1＋an=a1＋a1q＋…＋a1qn-2＋a1qn-1．

5、　　观察等号右端，若每一项乘以公比q，就得到它后面相邻的一项，能否设法消去一些项？同学们可以讨论一下．　　生：(学生口述，教师板书)　　在等号两边乘以q，得　　qSn=a1q＋a1q2＋…＋a1qn-1＋a1qn．　　将两式的两端分别相减，就可消去这些共同项，　　(1－q)Sn=a1－a1qn．　　得到前面的求和公式．　　师：这种求和方法也很重要，由于设法消去了一些中间项，使带有省略号的含任意有限项的式子变成仅含有几项的式子，从而使问题得到解决．　　(用这种方法求和，对培养学生的观察、分析能力是有好处的)　　这种求和方法称为“错位相减法”，是研究数列求和的一个重要方法．　　(板书)　　　

6、　(这种求和的思路在解决某些求和问题时经常用到，应使学生掌握)　　(以上三种推导方法，可以看出利用“发散思维”进行教学，引导学生从多条途径，用多种方法推导公式，从而培养学生的创造性思维)　　师：在求等比数列(q≠1)的前n项和时，如果已知首项a1，公比q以及项数n，　　　　师：与等差数列相似．等比数列的前n项和公式(1)和(2)，及通项公式an=a1qn-1，其中涉及a1，q，n，an和Sn这五个量，而它们又通过通项公式及前n项和的公式联系着，因此只要已知其中的任何三个量，即可得到以其余两个量为未知数的方程组，从而可以求出其余两个量．　　(类比的方法是认识事物的重要方法，提示学生在学习过

7、程中，注意用类比的方法记忆知识、解决问题)　　师：下面举例说明公式(1)、(2)的一些应用．　　(利用投影片投影出例题)　　例1口答下列各题：　　(3)请利用第(2)题的数据，自己编题，改求a1或求q，并求解．　　(自己拟题能巩固和深化所学的知识)　　生：(口答)　　　　(3)生甲：已知：q=3，S3=26．求a1．　　　　生乙：已知：a1=2，S3=26．求q．　　　　师：这一题是利用Sn求q，为什么可以用公式(2)？　　生：因为