弹性力学简明教程(第四版)_第八章_课后作业题答案.doc

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1、第八章空间问题的解答【8-1】设有任意形状的等截面杆，密度为，上端悬挂，下端自由，如题8-1图所示。试考察应力分量是否能满足所有一切条件。【解答】按应力求解空间问题时，须要使得六个应力分量在弹性体区域内满足平衡微分方程，教材中式（7-1）；满足相容方程，教材中式（8-13）；并在边界上满足应力边界条件，教材中式（7-5）。（1），很显然，应力分量满足如下的平衡微分方程（2），应力分量也满足贝尔特拉米相容方程（3）考察应力边界条件：柱体的侧面和下端面，。在（x,y）平面上应考虑为任意形状的边界（侧面方向余弦分别为n=0,l,m为任意的；在下端面方向

2、余弦分别为n=-1,l=m4=0），应用一般的应力边界条件，将应力和面力分量、方向余弦分别代入下式直杆的侧面和下端的应力边界条件都能满足。因此，所给应力分量是本问题的解。【8-8】扭杆的横截面为等边三角形OAB，其高度为ａ（题8-8图），取坐标轴如图所示，则AB，OA，OB三边的方程分别为。试证应力函数能满足一切条件，并求出最大切应力及扭角。OBAxyaC【解答】（1）扭杆无孔洞，应力函数Φ显然满足侧面边界条件。由杆满足端部的边界条件，教材中式（8-18）得积分求解得。（2）将Φ代入相容方程，教材中式（8-21）再将m代入上式结果，得4得（3）由

3、教材中式（8-15）求切应力分量得（4）由薄膜比拟法知，在扭杆的边界上，三个边的中点将发生最大剪应力，为方便计算，考虑C点：（5）单位长度上扭角为【8-10】设有一边长为a的正方形截面杆，与一面积相同的圆截面杆，受有相同的扭矩M，试比较两者的最大切应力和单位长度的扭角。【解答】（1）根据教材中式（8-34）和式（8-35）可知任意矩形杆的最大切应力和扭转角的表达式，对于边长为a的正方形截面杆，。将这些数值代入上式，得（2）根据教材中式（8-27）和式（8-28）可知椭圆截面杆的最大切应力和扭转角的表达式对于面积为的圆截面杆，上式中。4将这些数值代

4、入上式，得（3）比较两杆的最大切应力和单位长度的扭转角。。4