北京大学高等数学GS.ppt

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1、§1．5连续函数一、连续性的定义四、函数间断点的分类变量的增量、函数连续的定义、左右连续与连续的关系、连续函数举例间断点的定义、间断点的类型左右连续性、二、复合函数的连续性三、反函数的连续性复合函数的连续性、初等函数的连续性一、连续性的定义f(x0)f(x0+Dx)DxDyx0+Dxy=f(x)x0xyO设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内是有定义的．当自变量x在这邻域内从x0变到x0+Dx时，函数y相应地从f(x0)变到f(x0+Dx)，因此函数y的对应增量为Dy=f(x0+Dx)-f(x0)

2、．设变量u从它的一个初值u1变到终值u2，终值与初值的差u2-u1就叫做变量u的增量，记作Du，即Du=u2-u1．变量的增量:设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义，如果当自变量的增量Dx=x-x0趋于零时，对应的函数的增量Dy=f(x0+Dx)-f(x0)也趋于零，即那么就称函数y=f(x)在点x0处连续．等价关系：一、连续性的定义这是因为:记则于是定义一、连续性的定义例1函数在R上都是连续函数.在上是连续函数.函数在每个整数点都不连续.-5-4-3-2-1O12345xy54321-1

3、-2-3-4-5y=[x]狄利克雷函数处处不连续.而在其他点是连续的.用e-d语言叙述的函数的连续性定义：设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义，如果对于任意给定义的正数e，总存在着正数d，使得对于适合不等式

4、x-x0

5、

6、f(x)-f(x0)

7、0为常数,求证内连续.证函数y

8、=f(x)在点x0处连续函数y=f(x)在点x0处左连续且右连续．左右连续性：左右连续与连续的关系：函数在区间上的连续性：在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续．如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续．定义设函数例函数y={x}=x－[x]在每个整数点n右连续,但不左连续.0123xy又,函数y={x}=x－[x]在区间[0,1/2]上是连续函数,但它在区间[0,1]上不是连续函数.定理1由极限的四则运算性质,立即推出函数的

9、四则运算保持函数的连续性.即有4．函数y=cosx在区间(-，+)内是连续的．3．函数y=sinx在区间(-，+)内是连续的．1．如果f(x)是多项式函数，则函数f(x)在区间(-，+)内是连续的．这是因为证当当二．复合函数的连续性定理2证设证例而对这个()()()定理3定理2与定理3的区别:定理3中,不一定有即函数在定理2中这是必须的.例4求极限此定理的意义:在定理条件下,”极限号”与”函数号”可交换.例5求极限例6求极限三．反函数的连续性定义（单调函数）:下面定理指出了连续函数与单调

10、函数的一个关系.定理４Oax1x0x2bxdy0+εy0y0—εcOax1x0x2bxdy0+εy0y0—εc在区间(a,b)内连续.从而上述证明过程也可用于f的反函数定理结论对闭区间也成立.基本的连续函数：三角函数：sinx,cosx,tanx,cotx；反三角函数：arcsinx,arccosx,arctanx,arccotx；定理基本初等函数在定义域内是连续的.幂函数：初等函数在其定义域内的每个区间内都连续.常数函数:y=c;四、函数的间断点(1)在x=x0没有定义；则函数f(x)在点x0不连

11、续，而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点．设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义．在此前提下，如果函数f(x)有下列三种情形之一：间断点的定义：函数在连续为函数tanx的无穷间断点．间断点举例：xyO1x-1因为当x0时，函数值在-1与+1之间变动无限多次，xy21O1所以点x=1是函数的间断点．如果补充定义：当x=1时，令y=2，则所给函数在x=1成为连续．所以x=1称为该函数的可去间断点．xy21O1f(x)=x+1所以点x=1是函数的间断点．因此x=1是函数f(x)的间断点．11x

12、yO如果改变函数f(x)在x=1处的定义：令f(1)=1，则函数f(x)在x=1成为连续．所以x=1也称为该函数的可去间断点．11xyOy=f(x)=x因此x=1是函数f(x)的间断点．xyO左右极限虽然都存在，但不相等，是函数f(x)的间断点．因函数f(x)的图形在x=0处产生我们称x=0为函数f(x)的跳跃间断点．1-1跳跃现象，所以点x=0通常把间断点分成两类：如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限f(x0-0)及右极限f(x0+0)都存在，那么x0称为函数f