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1、Ch.5李雅普诺夫稳定性 分析目录(1/1)目录概述5.1李雅普诺夫稳定性的定义5.2李雅普诺夫稳定性的基本定理5.3线性系统的稳定性分析5.4非线性系统的稳定性分析5.5Matlab问题本章小结Matlab问题(1/2)5.5Matlab问题本章涉及的计算问题为线性定常连续/离散系统的李雅普诺夫稳定性分析,主要为对称矩阵的定号性(正定性)判定、连续/离散李雅普诺夫矩阵代数方程求解等。本节除将讨论上述问题基于Matlab的问题求解外,还将介绍进行线性定常系统结构性质分析的仿真平台软件lti_struct_analy
2、sis,以及该软件平台在系统实现、模型变换、Matlab问题(2/2)状态能控性/能观性分析、能控/能观分解、能控/能观规范形以及李雅普诺夫稳定性分析等系统结构性问题中的应用。下面就分别介绍对称矩阵的定号性(正定性)的判定线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性线性定常离散系统的李雅普诺夫稳定性线性定常系统的状态空间模型的结构性分析仿真平台对称矩阵的定号性(正定性)的判定(1/12)5.5.1对称矩阵的定号性(正定性)的判定判别对称矩阵的定号性(正定性)的方法主要有塞尔维斯特定理的判别法、矩阵特征值判别法和合同变换法。塞
3、尔维斯特定理判别法主要用于判别正定和负定,难以判别非正定、非负定和不定;特征值判别法的计算量大且计算复杂,其计算精度和数值特性有局限性；而合同变换法计算简单,稍加改进可成为一个良好的判别矩阵定号性的数值算法。对称矩阵的定号性(正定性)的判定(2/12)编著者采用求解线性方程组的主元消元法的思想,编制了基于合同变换法的矩阵定号性(正定性)的判定函数posit_def()。通过该函数可以方便地判定对称矩阵的定号性。函数posit_def()的源程序为对称矩阵的定号性(正定性)的判定(3/12)functionsym_P
4、=posit_def(P)[m,n]=size(P);ifn>1fori=1:n-1forj=i:ndia_v(j)=abs(P(j,j));end[mindv,imin]=max(dia_v(i:n));imin=imin+i-1;ifmindv>0ifimin>ia=P(imin,:);P(imin,:)=P(i,:);P(i,:)=a;b=P(:,imin);P(:,imin)=P(:,i);P(:,i)=b;endforj=i+1:nx=P(i,j)/P(i,i);P(:,j)=P(:,j)-P(:,i)*
5、x;P(j,:)=P(j,:)-P(i,:)*x;endendendend%定义函数posit_def()%取P矩阵的维数大小n%若n>1,则对P进行合同变换%对非对角线元素进行消元%取未消元的对角线绝对值%求对角线绝对值的最大者%将对角线绝对值最大值所在的行和列与当前行列交换%对当前行列的非对角线元素进行消元对称矩阵的定号性(正定性)的判定(4/12)fori=1:ndia_vect(i)=P(i,i);endmindv=min(dia_v);maxdv=max(dia_v);ifmindv>0sym_P='po
6、sitive';elseifmindv>=0sym_P='nonnegat';elseifmaxdv<0sym_P='negative';elseifmaxdv<=0sym_P='nonposit';elsesym_P='undifini';end%取所有对角线元素%计算对角线元素的最大与最小值%若最小值>0,则矩阵正定%若最小值0,则矩阵非负定%若最大值<0,则矩阵负定%若最大值0,则矩阵非正定%否则为不定对称矩阵的定号性(正定性)的判定(5/12)判定矩阵正定性的函数posit_def()的主要调用格式为s
7、ym_P=posit_def(P)其中,输入矩阵P须为对称矩阵,输出sym_P为描述矩阵P的符号串。输出sym_P为'positive','nonnegat','negative','nonposit'和'undifini'分别表示输入矩阵P为正定、非负定(半正定)、负定、非正定(半负定)与不定。Matlab问题5-1试在Matlab中判定例5-2的如下实对称矩阵是否正定。对称矩阵的定号性(正定性)的判定(6/12)Matlab程序m5-1如下。P=[1-1-1;-132;-12-5];result_state=p
8、osit_def(P);%采用合同变换法判定矩阵定号性switchresult_state(1:5)%运用开关语句,分类陈述矩阵正定否的判定结果case'posit'disp('Thematrixisapositivedefinitematrix.')otherwisedisp('Thematrixisnotapositivedefinitematrix.'
