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时间:2020-07-29
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1、一、值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域.常见函数的值域:一次函数的值域为R.二次函数,当时的值域为,当时的值域为.,反比例函数的值域为.指数函数的值域为.对数函数的值域为R.正,余弦函数的值域为,正,余切函数的值域为R.二、求函数值域(最值)的常用方法1.直接观察法适用类型:根据函数图象.性质能较容易得出值域(最值)的简单函数 例1、求函数y = 的值域 解: 显然函数的值域是: 例2、求函数y =2-的值域。 解:≥0 -≤0 2-≤2故函数
2、的值域是:[ -∞,2 ] 2 、配方法适用类型:二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。对于形如或类的函数的值域问题,均可用配方法求解.例3、求函数y=-2x+5,x[-1,2]的值域。 解:将函数配方得:y=(x-1)+4, x [-1,2], 由二次函数的性质可知: 当x = 1时,y= 4 当x = - 1,时 = 8 故函数的值域是:[ 4 ,8 ] 例4 、求函数的值域:解:设,则原函数可化为:.又因为,所以,故,,所以,的值域为. 3 、判别式法 适
3、用类型:分子.分母中含有二次项的函数类型,此函数经过变形后可以化为的形式,再利用判别式加以判断。例5、求函数的值域解:恒成立,函数的定义域为R.由得。①当即时,;②当即时,时,方程恒有实根.且.原函数的值域为.例6、求函数y=x+的值域。解:两边平方整理得:2-2(y+1)x+y=0 (1) xR,△=4(y+1)-8y≥0解得:1-≤y≤1+但此时的函数的定义域由x(2-x)≥0,得:0≤x≤2。由△≥0,仅保证关于x的方程:2-2(y+1)x+y=0在实数集R有实根,而不能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程(1)有实根,由
4、△≥0求出的围可能比y的实际围大,故不能确定此函数的值域为[,]。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 0≤x≤2,y=x+ ≥0,=0,y=1+代入方程(1),解得:=[0,2],即当=时,原函数的值域为:[0,1+]。注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除。4、反函数法适用类型:分子.分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型),也可用于其它易反解出自变量的函数类型。例7、求函数的值域。分析与解:由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出x,从而便于求出反函数。反
5、解得即知识回顾:反函数的定义域即是原函数的值域。故函数的值域为:。 5 、函数有界性法 直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域。适用类型:一般用于三角函数型,即利用等。例8、求函数y = 的值域。 解:由原函数式可得:= >0,>0 解得:- 1<y<1。 故所求函数的值域为( - 1 , 1 ) . 例9、求函数y = 的值域。 解:由原函数式可得:ysinx-cosx=3y 可化为: sinx(x+β)=3y即sinx(x+β
6、)=∵x∈R,∴sinx(x+β)∈[-1,1]。即-1≤≤1 解得:-≤y≤故函数的值域为[-,]6 、函数单调性法适用类型:一般能用于求复合函数的值域或最值。(原理:同增异减)例10、求函数的值域。分析与解:由于函数本身是由一个对数函数(外层函数)和二次函数(层函数)复合而成,故可令:配方得:由复合函数的单调性(同增异减)知:。例11、求函数y = (2≤x≤10)的值域 解:令y= ,= ,则 y, 在[ 2, 10 ]上都是增函数。 所以y=y+在[ 2 ,10 ]上是增函数。 当x = 2 时,y= +
7、= , 当x = 10 时, =+=33。 故所求函数的值域为:[ ,33]。 例12、求函数y= -的值域。 解:原函数可化为:y= 令y= ,=,显然y ,在[1,+∞)上为无上界的增函数,所以y=y+在[1,+∞)上也为无上界的增函数。 所以当x = 1时,y=y+有最小值,原函数有最大值= 。 显然y>0,故原函数的值域为( 0 , ]。 7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用。适用
8、类型:无理函数、三角函数(用三角代换)等。例13、求函数y = x + 的值域。 解:令x-1=t,(t≥0)则x=+1 ∵y=+t+1=+,又t≥0,由二次函数的
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