直线地全参数方程及其指导应用举例.doc

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时间:2020-07-29

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1、直线的参数方程及应用yh0hP0hP()Q问题1:(直线由点和方向确定)求经过点P0(),倾斜角为的直线的参数方程.设点P()是直线上任意一点,(规定向上的方向为直线L的正方向)过点P作y轴的平行线,过P0作x轴的平行线,两条直线相交于Q点.1)当与直线同方向或P0和P重合时,yh0hP()P0hQP0P=

2、P0P

3、则P0Q=P0PcosQP=P0Psin2)当与直线反方向时,P0P、P0Q、QP同时改变符号P0P=-

4、P0P

5、P0Q=P0PcosQP=P0Psin仍成立设P0P=t,t为参数,又∵P0Q=,=tcosQP=∴=tsin即是所求的直

6、线的参数方程∵P0P=t,t为参数,t的几何意义是:有向直线上从已知点P0()到点P()的有向线段的数量,且

7、P0P

8、=

9、t

10、①当t>0时,点P在点P0的上方;②当t=0时,点P与点P0重合;③当t<0时,点P在点P0的下方;yh0hP0hP()特别地,若直线的倾斜角=0时,直线的参数方程为④当t>0时,点P在点P0的右侧;⑤当t=0时,点P与点P0重合;yh0hPP0h⑥当t<0时,点P在点P0的左侧;问题2:直线上的点与对应的参数t是不是一对应关系?我们把直线看作是实数轴,以直线向上的方向为正方向,以定点P0为原点,以原坐标系的单位长为单位长,

11、这样参数t便和这条实数轴上的点P建立了一一对应关系.问题3:P1、P2为直线上两点所对应的参数分别为t1、t2,则P1P2=?,∣P1P2∣=?P1P2=P1P0+P0P2=-t1+t2=t2-t1,∣P1P2∣=∣t2-t1∣问题yh0hP1P0hP24:若P0为直线上两点P1、P2的中点,P1、P2所对应的参数分别为t1、t2,则t1、t2之间有何关系?根据直线参数方程t的几何意义,P1P=t1,P2P=t2,∵P0为直线上两点P1、P2的中点,∴

12、P1P

13、=

14、P2P

15、P1P=-P2P,即t1=-t2,t1t2<0一般地,若P1、P2、P3是直

16、线上的点,所对应的参数分别为t1、t2、t3,P3为P1、P2的中点则t3=(∵P1P3=-P2P3,根据直线参数方程t的几何意义,∴P1P3=t3-t1,P2P3=t3-t2,∴t3-t1=-(t3-t2,))总结:1、直线参数方程的标准式(1)过点P0(),倾斜角为的直线的参数方程是(t为参数)t的几何意义:t表示有向线段的数量,P()P0P=t∣P0P∣=t为直线上任意一点.(2)若P1、P2是直线上两点,所对应的参数分别为t1、t2,则P1P2=t2-t1∣P1P2∣=∣t2-t1∣(3)若P1、P2、P3是直线上的点,所对应的参数分别为t

17、1、t2、t3则P1P2中点P3的参数为t3=,∣P0P3∣=(4)若P0为P1P2的中点,则t1+t2=0,t1·t2<02、直线参数方程的一般式过点P0(),斜率为的直线的参数方程是(t为参数)例题:1、参数方程与普通方程的互化例1:化直线的普通方程=0为参数方程,并说明参数的几何意义,说明∣t∣的几何意义.解:令y=0,得=1,∴直线过定点(1,0).k=-=-设倾斜角为,tg=-,=,cos=-,sin=的参数方程为(t为参数)t是直线上定点M0(1,0)到t对应的点M()的有向线段的数量.由(1)、(2)两式平方相加,得∣t∣=∣t∣是定

18、点M0(1,0)到t对应的点M()的有向线段的长.点拨:求直线的参数方程先确定定点,再求倾斜角,注意参数的几何意义.例2:化直线的参数方程(t为参数)为普通方程,并求倾斜角,说明∣t∣的几何意义.解:原方程组变形为(1)代入(2)消去参数t,得(点斜式)可见k=,tg=,倾斜角=普通方程为(1)、(2)两式平方相加,得∴∣t∣=∣t∣是定点M0(3,1)到t对应的点M()的有向线段的长的一半.点拨:注意在例1、例2中,参数t的几何意义是不同的,直线的参数方程为即是直线方程的标准形式,(-)2+()2=1,t的几何意义是有向线段的数量.直线的参数方程

19、为是非标准的形式,12+()2=4≠1,此时t的几何意义是有向线段的数量的一半.你会区分直线参数方程的标准形式吗?例3:已知直线过点M0(1,3),倾斜角为,判断方程(t为参数)和方程(t为参数)是否为直线的参数方程?如果是直线的参数方程,指出方程中的参数t是否具有标准形式中参数t的几何意义.解:由于以上两个参数方程消去参数后,均可以得到直线的的普通方程,所以,以上两个方程都是直线的参数方程,其中cos=,sin=,是标准形式,参数t是有向线段的数量.,而方程是非标准形式,参数t不具有上述的几何意义.点拨:直线的参数方程不唯一,对于给定的参数方程能

20、辨别其标准形式,会利用参数t的几何意义解决有关问题.问题5:直线的参数方程能否化为标准形式?是可以的,只需作参数t的代换.

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