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《北邮概率统计课件3.5两个随机变量的函数的分布.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一般，先讨论两个随机变量的函数的分布问题，然后将其推广到多个随机变量的情形。在多维随机变量中需讨论：已知随机变量X1,X2,…,Xn及其联合分布，如何求出它们的函数：Yi=gi(X1,X2,…,Xn),i=1,2,…,m的联合分布。第五节两个随机变量的函数的分布研究的问题在一维随机变量中讨论了：已知随机变量X及它的分布，如何求其函数的分布。9/4/2021北邮概率统计课件一.Z=X+Y的分布(和的分布)设(X,Y)的概率密度为f(x,y).则Z=X+Y的分布函数为:固定z和x,对内层积分作变量替换y=u–x累次积分是直线x+y=z左下方的半平面交换积分次序9/4/20
2、21北邮概率统计课件得Z=X+Y的概率密度为:注:当X,Y相互独立时，则由或称为卷积公式记为：由X和Y的对称性，fZ(z)又可写为：有:9/4/2021北邮概率统计课件例1.设X和Y相互独立的随机变量，且求：Z=X+Y的概率密度解:利用卷积公式：9/4/2021北邮概率统计课件9/4/2021北邮概率统计课件结论:推广到n个相互独立正态随机变量之和，即：若随机变量X和Y相互独立，且▲则它们的和仍服从正态分布，即：▲且它们相互独立，则它们的和仍服从正态分布。即有：▲更一般的有：有限个相互独立的正态随机变量的的线性组合仍然服从正态分布。9/4/2021北邮概率统计课件例2
3、.且X,Y的概率密度分别为:求:Z=X+Y的分布9/4/2021北邮概率统计课件解:当时，当时，令：从9/4/2021北邮概率统计课件Beta函数定义：B(m,n)=且B函数与函数之间有关系式：9/4/2021北邮概率统计课件结论:从而得：▲布，则它们的和仍服从参数为若相互独立，且服从参数为的分的分布▲推广：服从参数为则其和9/4/2021北邮概率统计课件此时则称X服从自由度为n的开平方分布，记为：▲特别当时，的密度函数为：▲若相互独立，并均服从,则正态分布的和仍服从正态分布；而正态分布的平方和和却服从分布9/4/2021北邮概率统计课件例3.求:Z=X+Y的分布解:
4、(服从泊松分布)，且X,Y相互独立。设与的取值均为：的取值也为非负的整数因为X与Y相互独立9/4/2021北邮概率统计课件结论:服从参数为的泊松分布，且若X,Y相互独立。则它们的和服从参数为泊松分布，即：9/4/2021北邮概率统计课件例4.若X和Y相互独立，具有相同的概率密度：求：Z=X+Y的概率密度为确定积分限，先找出使被积函数不为0的区域由卷积公式：也即解:由已知：9/4/2021北邮概率统计课件于是得：如图示:区域9/4/2021北邮概率统计课件例1~例3说明：不论是连续型随机变量还是离散型随机变量，如果它们服从正态分布,分布或泊松分布，那么它们的和也仍然服从
5、正态,分布或泊松分布，并且参数是单个参数之相加,具有这种性质的随机变量也称其为满足或具有可加性的随机变量。归纳求解例1~例3过程中知：在求随机向量(X,Y)的函数Z=g(X,Y)的分布时，关键是设法将其转化为(X,Y)在一定范围内取值的形式，从而利用已知的分布求出Z=g(X,Y)的分布。▲▲9/4/2021北邮概率统计课件二.的分布(商的分布)设(X,Y)的概率密度为f(x,y)则的分布函数为:对于固定z,y令:9/4/2021北邮概率统计课件同样有:故有:对求导得概率密度函数为:9/4/2021北邮概率统计课件注:当X,Y相互独立时,则有:例5.设X,Y的概率密度分
6、别为:并且X,Y相互独立。求：的概率密度函数9/4/2021北邮概率统计课件解:因为X,Y的取值范围分为大于零与小于等于零两段，所以Z的取值范围也分为：当时：当时：9/4/2021北邮概率统计课件三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布最大值和最小值分布设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y)所以得：求：M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.1.M=max(X,Y)的分布解：因为：9/4/2021北邮概率统计课件2.N=min(X,Y)分布所以：从而得：因为：由独立性9/4/2021北邮概率统计课件注:所
7、以得：▲与由通过对其求导得相应的概率密度函数▲推广：是个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为：则：的分布函数分别为:9/4/2021北邮概率统计课件▲特别，当相互独立且具有相同的分布函数F(X)时（即独立同分布），则有：设随机变量X1,X2相互独立，并且有相同的几何分布，即P(Xi=k)=p(1–p)k-1,k=1,2,…(i=1,2)例6.求：的分布解：解法一因为：P(Y=n)=P(max(X1,X2)=n)9/4/2021北邮概率统计课件=P(X1=n,X2≤n)+P(X2=n,X1
