十一章反常积分课件.ppt

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1、第十一章反常积分11.1反常积分概念11.2无穷积分的收敛性质与判别11.3瑕积分的性质与收敛判别11.1反常积分概念一、引例二、两类反常积分的定义0x1b一、问题提出二、两类反常积分的定义.定义1:设函数f(x)定义在区间[a,+)上,且在任何有限区间[a,u]上可积，如果存在极限则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a,+)上的无穷限反常积分,记作oyxb1例如：类似地,设函数f(x)在区间(,b]上连续,取a

2、穷积分收敛;若上述极限不存在,就称无穷积分发散.即设函数f(x)在区间(,+)上连续,都收敛,则称上述两无穷积分之和为函数f(x)在区间(,+)上无穷积分.记作,即这时,也称无穷积分收敛;否则就称无穷积分发散.如果无穷积分解：注:为方便起见,把aboxy.112ò¥+¥-+xdx：计算无穷积分例).0,(:20>ò¥+-ppdttept且是常数计算无穷积分例.:3ò¥+xdx1p证明无穷积分例ò¥+1pxdx所以无穷积分例4：确定下列无穷积分是否收敛，若收敛算出它的值.则称此极限为无界函数f(x)在(a,b

3、]上的反常积分.上有界且可积，如果存在极限定义2:设函数f(x)定义在区间(a,b]上,而在点a的右邻域内无界,但在任何内闭区间这时也称反常积分收敛.如果上述极限不存在,就称反常积分发散.上有界且可积，如果存在极限则称此极限为无界函数f(x)在[a,b)上的反常积分.类似地,设函数f(x)定义在区间[a,b)上,而在点b的左邻域内无界,但在任何内闭区间这时也称反常积分收敛.如果上述极限不存在,就称反常积分发散.设函数f(x)在区间[a,b]上除点c(a

4、定义否则,就称反常积分发散.都收敛,则定义否则,就称反常积分发散.若a，b两点都是函数f(x)的瑕点,而f(x)在任何[u,v](a,b)上可积,如果两个广义积分.:8112ò-的收敛性讨论反常积分例xdx例6.1例10.如无穷限积分再如瑕积分11.2无穷积分的收敛性质与判别一.无穷积分的性质二.无穷积分收敛的判别法一.无穷积分的性质性质１性质２柯西准则性质３注二.无穷积分收敛的判别法２，比较原则１，柯西准则定理11.2（比较原则）推论1推论3推论2发散时且当.)(),[,1)(dxxfaxxxfapò+¥+¥Î³柯西

5、判别法定理11.3狄利克雷判别法定理11.4阿贝尔判别法三、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法推论定理9.11(积分第二中值定理)设f在[a,b]上可积.(i)若函数g在[a,b]上单调减,且则存(ii)若函数g在[a,b]上单调增,且则存11.3瑕积分的性质与收敛判别瑕积分与无穷积分有平行的理论和结果.定理11.5一.瑕积分的性质性质２性质１性质３注性质３说明绝对收敛的瑕积分自身一定收敛．但自身收敛的级数不一定绝对收敛。我们称收敛而不绝对收敛的反常积分为条件收敛．二.无穷积分收敛的判别法１.柯西准则２，比较原则推论1推论2

6、推论3