华中科技大学线性代数6.3 用正交变换化二次型为标准型课件.ppt

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1、§6.3用正交变换化二次型为标准形五、用正交变换化二次型为标准形的方法四、实对称矩阵与二次型的一些性质三、正交变换二、正交矩阵一、问题的引入六、在二次曲线中的应用引例考察方程所表示的曲线。由一、问题的引入利用配方法可得(1)令(2)令或或引例考察方程所表示的曲线。一、问题的引入(3)令即其中问题哪个方程描述了真正的椭圆呢？xy引例考察方程所表示的曲线。一、问题的引入二、正交矩阵定义设A为n阶实矩阵，若A满足则称A为正交矩阵。此时显然有例如设则有故A为正交矩阵。二、正交矩阵性质(1)若A为正交矩阵，则也为正交矩阵；(2)若A为正交矩阵，则或(3)若A,B为正交矩阵，则AB也为正交矩阵；(4)方阵

2、A为正交矩阵的充要条件是A的列(行)向量构成标准正交向量组。证明(仅证性质(4)中列向量的情况)将矩阵A按列分块则即A为正交阵A的列向量构成标准正交向量组。证明(仅证性质(4)中列向量的情况)例下列矩阵是否为正交阵？(1)A是正交矩阵;答(2)B不是正交矩阵。(将B的每一列单位化即得到正交矩阵)例设方阵A为正交阵，且试证A+I不可逆。即A+I不可逆。证从而有上式两端取行列式并由得三、正交变换若P为正交矩阵，则线性变换称为正交变换。定义性质设为线性变换，则下列命题等价：(1)线性变换为正交变换；(2)在线性变换下，向量的内积不变，即当时，有(3)线性变换把中的标准正交基变成标准经过正交变换后，向

3、量(线段)的长度、夹角保持不变，优点曲线(曲面)的形状、大小保持不变。正交基。(1)(2)：(2)(3)：设为中的标准正交基，经线性变换后得向量组从而为中的标准正交基；即C为正交阵，若为正交变换,若在线性变换下，向量的内积不变,证明(采用循环证明的方法完成其等价性的证明)则有(3)(1)：设则有由于和都是正交阵，若把中的标准正交基变成标准正交基，设为中的标准正交基，经线性变换后得向量组也为中的标准正交基。则也是正交阵。因此从而为正交变换。目标求正交矩阵P，即使得或要求(1)矩阵P的列必须为A的特征向量；(2)矩阵P的列必须为正交向量组；(3)必须是A的特征值。三、正交变换四、实对称矩阵与二次型

4、的一些性质1.实对称矩阵的性质(1)A的特征值都是实数；性质1设A为n阶实对称矩阵，则有(2)A的对应于不同特征值的特征向量必正交；证明(1)设l是A的特征值,又由有故则存在使得对上式两端取共轭转置，并利用得其中是X的共轭。从而有即得即实对称矩阵A的特征值都是实数。(a)(b)证明(2)设是A的两个不同的特征值，分别是对应于的特征向量，则因此由有即与正交。四、实对称矩阵与二次型的一些性质1.实对称矩阵的性质性质1(1)A的特征值都是实数；设A为n阶实对称矩阵，则有(2)A的对应于不同特征值的特征向量必正交；性质2设A为n阶实对称矩阵，则必存在正交矩阵C，使得(数学归纳法)证明假设性质对于阶成立

5、，需证对于n阶也成立。对于1阶实对称矩阵，性质显然成立。则P为正交阵，且(1)设A的某特征值对应的单位特征向量为将扩充为中的标准正交向量组令记为即得00其中(2)对于有根据归纳法假设，存在阶正交阵使得则Q为正交阵，且000000000000令为阶对称矩阵，(3)由于则C为正交阵，且00令00(4)由于定理对于任意一个给定的实二次型其中是矩阵A的特征值。正交变换使得四、实对称矩阵与二次型的一些性质1.实对称矩阵的性质2.主轴定理总存在(2)求出相应的一组线性无关的特征向量(3)将标准正交化[注]得到步骤(4)令(1)求出二次型对应的矩阵A的特征值作正交变换即得[注]由于实对称矩阵A的对应于不同特

6、征值的特征向量必正交。故标准正交化只需在每个特征值所对应的特征向量之间进行。五、用正交变换化二次型为标准形的方法例设实对称矩阵求正交阵C，使得特征值解(1)由(2)对于令即求解得基础解系为单位化得单位特征向量(3)对于令即求解得基础解系为这两个向量已正交，只需单位化即得：(4)于是可得正交矩阵使得解(1)二次型所对应的矩阵为例已知求一个正交变换X=PY，将该二次型化为标准型。由可得A的特征值为(2)当时，得基础解系直接单位化得求解方程组因已正交，得基础解系单位化得(3)当时，求解方程组(4)于是可得正交矩阵则有解(1)二次型所对应的矩阵为例已知求一个正交变换X=PY，将该二次型化为标准型。由可

7、得A的特征值为(2)当时，得基础解系对其进行标准正交化得求解方程组得基础解系单位化得(3)当时，求解方程组(4)于是可得正交矩阵则有六、在二次曲线中的应用例已知某二次曲线的方程为写出其标准方程，并画出该二次曲线示意图。解记当时，求得单位化的特征向量当时，求得单位化的特征向量可得A的特征值为(1)由则有(2)令即原方程化为即xy为轴的方向，C的第一列，即C的第二列，即为轴的方向，由此即可画出(3)如