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1、第卷第期月商丘师范学院学报咨年,常微分方程的数学思想方法‘,,,‘王庆东营典兵侯海军商丘师范学院数学系,河南商丘商丘师范学院计算机科学系,河南商丘,,抽象化,化归,逼近,数摘要对常徽分方程中的数学思怒进行了探讨认为其可归为模型化形结合几才面关键词常徽分方程数学思怒一一一中图分类号文献标识码文章编号一‘,一扩,一止,邝肠,,,,,,,,,,,引言数学思想是对数学知识的本质认识,是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点,它在认识活动中被反复运用,带有普遍的指导意义,是建立数学以及运用数学解决问题的指导思想数学方法是指提出问题、解
2、决问题的过程中所采用的各种方式、手段、途径等,二者的紧密联系即数学思想方法可见,数学思想方法是以具体的教学内容为载体,,,又高于具体数学内容的一种指导思想和大范围普遍适用的方法是数学的灵魂学习数学思想方法可以使学生站在更高的高度审视数学,领悟和把握数学的真谛,理解数学的价值,学会思考、解决问题,实现知识学习,培养能力,发展智力的有机统,,已成为“”下问题解决的重要工具和本科院校的重常微分方程作为适用范围广生命力旺盛的技术学科大众数学观要基础课,因此,,对,及其发深入挖掘常微分方程中的数学思想方法并运用于教学于学生从整体上把握常微分方程的理论与方
3、法生发展规律,提高大学生的数学文化修养、审美情趣和创新能力等都具有重要的意义常微分方程的发展概况世纪常微分方程与微积分相伴而生,微积分是她的母体,生产生活实践是她生命的源泉至世纪上半叶,人们的目光主要放在常微分方程“”上,的求解常微分方程处于实域解析理论阶段工业革命带来的数学繁荣促进了常微分方程的成,,,、,长先探讨解的存在与唯一性而不是一味求解奇点理论边值解形式级数解自守函数论先后出现使常微分方程成长为一个数学分支,步入了复域解析阶段从世纪后半叶开始,不解方程而确定解的性质的定性理论开始建立,数学思想方法再次实现了大的进步,朝着解析方法、几何
4、方法、数值方法个主要方向扩展随着伯克霍夫美提出拓扑动力系统年,将一般定性理论进行了抽象和升华,逐渐发展成微分动力系统多年来,常微分方程诞生于数学与自然科学进行崭新结合的、世纪,成长于生产实践和数学的发展进程,表现出一一收稿期作者简介王庆东一,男,河南太康人,商丘师范学院副教授,主要从事数学教育研究商丘师范学院学报年强大的生命力和活力,蕴涵着丰富的数学思想方法主要数学思想方法模型化模型化是通过研究模型来揭示原型形态、本质、特征的科学思维方法它可以有目的地集中研究认识对象的主要结构和关系,抓住事物中的主要矛盾以及矛盾的主要方面,具有科学性和极强的可
5、重复操作性,同时,模型化也是实践决定认识的一次,,尤其在实域解析理论阶段表现得特别充分常微分方程早期多研究飞跃过程常微分方程自诞生之初就是模型化的产物机械、电学系统,之后逐渐加强与其它学科的渗透支援,理论开始丰富和深化即使是世纪年代,蓬勃发展的无线电技术,,、中的孤立等幅振荡也极大地促进了极限环的研究丰富了常微分方程的理论时至今日放射性元素的衰变模型人口乃至生态系统的模型医学方面的传染病模型、气象学中的洛仑兹模型、军事方面的军备竟赛和作战模型等,给我们展示了常微分方程模型化的壮阔画卷随着常微分方程的不断发展,常微分方程模型也逐渐现代化,在确定连
6、续模型的基础上,从静态优化的微分法模型向动态模型、平衡与稳定状态模型及动态优化模型发展抽象化“量”和“”,,,由形作为数学中抽象的材料在两个研究对象具有相同的量和形时便可使用相同的方法处理此决定了数学的抽象性此外,概念和规律定理、公式等的抽象也决定了数学内容的抽象性,数学的抽象化是从简单到复杂的逐步深化的过程,常微分方程的发展也是抽象化的过程,通过抽象,理论意义进一步增强研究领域抽象化‘,一,,二二,的解开始研究平常微分方程从研究面上的积分曲线但研究自治系统突,涛了“其本质是在中进行解的研究,由于轨线与积分曲线是,平面抽象成了相平面,以一对多的
7、关系柳研究借助相平面上的相轨线来进行随着常微分的发展研究领域又从相平面推广到环面、柱面、’‘空间至微分流形上,研究范围不断抽象研究对象抽象化常微分方程的研究对象的抽象化表现在低阶到高阶、线性到非线性、静止到运动、从一个方程到方程组或者系统等方面”’以世纪年代的荷兰电气工程师研究三极管时得到的方程十一爪的抽象过程可以充分地说明研究对象的抽象化即’’群一尸护冷“’即方程”,’’十十二、了吸‘亡、二二夕’夕夕二尸,‘,,尸久,‘二,,力几·一稳定性理论的发展也有类似的现象一工,研究从零解的渐近稳定性和全局稳定性逐步抽象到研究摄动系统瓮瓮工。二的持续作
8、用下二二的零解的稳定性和结构稳定性卜瓮化归思想与逼近思想,,、、、、从常微分发展历程可以看出化归是常微分方程的重要数学思想方法常数变易法代换法级数解法
