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1、数学物理方程MathematicalEquationsforPhysics用数理方法研究问题的步骤Á1、写出定解问题Á2、求解:Á求解方法：行波法、分离变量法、格林函数法、……Á3、分析解答：物理意义Á存在适应性唯一稳定本次课主要内容数学物理方程总复习一、偏微分方程理论二、行波法三、分离变量法3一、偏微分方程理论(一)、偏微分方程理论掌握定解问题的建立a、掌握基本方程的建立b、掌握定解条件的推导c、掌握定解问题的概念4定解问题的建立写出定解问题，需要建立偏微分方程、写出定解条件（边界条件(包括衔接条件，自然条件）和初始条件）。建立偏微分方程的
2、主要方法是微元法(1).明确物理过程与研究对象(待研究物理量);(2).进行微元分析；分析短时间内微元和相邻部分的相互作用，根据物理定律用算式表达这种作用。(3).化简、整理算式。5如何写出三类边界条件？(1)、明确环境影响通过的所有边界；(2)、分析边界所处的物理状况；(3)、利用物理规律写出表达边界状况的表达式。6一、基本方程的建立用数理方法研究问题的步骤Á1、写出定解问题Á偏微分方程：数理方程(一般规律)Á定解条件：初始、边界、衔接条件（个性)掌握三类数理方程的导出Thederivationofthreetypesofmathemati
3、calequationsforphysics一、波动方程常用物理规律(一)1、牛顿第二定律2dsdv∑Fm==m2dtdt2、胡克定律P=Yux对胡克定律的说明：P=Yux公式中P称为协强或应力。它表示弹性物体单位截面所受作用力，P=F/S。公式中u表示伸长率，称为协变。xY表示杨氏弹性模量，等于协强比协变。杨氏弹性模量由材料决定！例、弦的横振动研究张紧的弹性轻弦的微小横振动。现在考虑弧段MM’在t时刻的受力情况由于假定弦是柔软的，所以在任一点张力的方向总是沿着弦在该点的切线方向。t时刻位移NM记作uu(x,t)弧段MèM'两端所受的张力记作
4、T,T’根据牛顿第二定律F=ma在x轴方向弧段MèM'受力的总和为Ta'cos'−Tacos=0按照上述弦振动微小的假设，可知在振动过程中弦上M点与M’点处切线的倾角都很小，即α≈0,'α≈0从而由24aacosα=1−+−?2!4!cosα≈1,cos'1α≈TT'=根据牛顿第二定律F=mau方向运动的方程可以描述为−+−TaTasin'sin'ρgdsm＝a又因为0,'0α≈α≈tanau∂(,)xtsinaa=≈tan=1tan+a2∂x∂uxdxt(,+)sin'aa≈=tan∂x2⎡⎤∂uxt(,)ds=+1dx≈dx⎢⎥⎣⎦∂x根
5、据牛顿第二定律F=mau方向运动的方程可以描述为−+−=TaTasin'sin'ρgdsma2且小弧段在时刻t沿u方向运动的加速度近似为∂uxt(,)2∂t小弧段质量为ρds2∂uxt(,)−+−≈TsinaT'sin'aρρgdsds2∂t2⎡⎤∂+uxdxt(,)(∂uxt,)∂uxt(,)T−−ρρgdx≈dx⎢⎥2⎣⎦∂∂xx∂t2⎡⎤∂+uxdxt(,)(∂uxt,)∂uxt(,)T−−ρρgdx≈dx⎢⎥2⎣⎦∂∂xx∂t∂uxt(,)由于x产生dx的变化而引起的的改变量，可∂x用微分近似代替，即2∂+uxdxt(,)∂uxt(,
6、)∂∂⎡⎤uxt(,)∂uxt(,)−≈dx=dx⎢⎥2∂∂xx∂x⎣⎦∂∂xx2⎡⎤∂+uxdxt(,)(∂uxt,)∂uxt(,)T−−ρρgdx≈dx⎢⎥2⎣⎦∂∂xx∂t22⎡⎤∂∂uxt(,)uxt(,)⎢⎥T−≈ρρgdxdx22⎣⎦∂∂xt22Tuxt∂∂(,)uxt(,)≈+g22ρ∂∂xt22Tuxt∂∂(,)uxt(,)≈+g22ρ∂∂xt222T∂uu2∂a=一维波动方程=aρ22∂tx∂Á如果在振动过程中，弦上另外还受到一个与弦的振动方向平行的外力，且假定在时刻t弦上x点处的外力密度为F(x,t)，显然Ta'cos'−
7、Tacos=02∂uFdsT−+−≈sinaT'sin'aρρgdsds2∂t弦的强迫振动方程22∂∂uu2=+af(,)xt22∂∂tx弦的强迫振动方程22∂∂uu2=+af(,)xt22∂∂tx1表示t时刻单位质量的弦在f(,)xt=Fxt(,)x点处所受的外力密度ρ齐次一维波动方程22∂uu2∂=a22∂tx∂非齐次一维波动方程22∂∂uu2=+af(,)xt22∂∂tx与未知函数u无关的项，称为自由项例二、均匀杆的纵振动方程均匀杆，只要杆中任一小段有纵向位移或速度，必导致临近段的压缩或伸长，这种压缩传播开去，就形成杆的纵振动。试推导杆
8、的微小纵振动方程Á考虑一沿杆长方向作微小纵振动的均匀细杆xÁ张力＝杨氏模量×横截面积×相对伸长Á其中Á相对伸长＝伸缩长度/原来的长度Á在任意时刻t杆上任一点x处的相
