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1、最优化习题答案第一章22一、考虑二次函数fX()=x1+2xx12+3xxx2-1+21TT1)写出它的矩阵—向量形式:fX()=xQx+bx22)矩阵Q是不是奇异的?3)证明:f(x)是正定的4)f(x)是凸的吗?T5)写出f(x)在点x=(2,1)处的支撑超平面(即切平面)方程22解:1)f(x)=x1+2x1x2+3x2-x1+x2T1x122x1-1x1=+2x226x21x2x122-1其中x=,Q=,b=x226122222)因为Q=,所以
2、Q
3、=
4、=8>0即可知Q是非奇异的2626223)因为
5、2
6、>0,=8>0,所以Q是正定的,故f(x)是正定的26222224)因为Ñfx()=,所以
7、Ñf(x)
8、=8>0,故推出Ñf(x)是正定的,262即Ñf(x)是凸的T5)因为Ñf(x)=(2x1+2-1,2x2x1+6x2+1),所以Ñf(x)=(5,11)所以fx()在点x处的切线方程为5(x1-2)+11(x2-1)=0二、求下列函数的梯度问题和Hesse矩阵221)fx()=2x1+x1x2+9x1x3+3x2+x2x3+2x2222)fx()=ln(x1+xx2+x2)1解:1)Ñf(x)=(4x1+x2+9x3,
9、x1+6x2+x3+2,9x1+x2)14192Ñf(x)=1619102x1+x2x1+2x22)Ñf(x)=(,)2222x1+x1x2+x1x1+x1x2+x12222x-2x-2xx-x-4xx-x21121122222222Ñ2f(x)=(x1+2x1x2+x2)2(x12+x1x2+x2)2-x1-4x1x2-x2x1-2x1x2-2x222(x2+xx+x2)(x2+xx+x2)11221122232)1(T三、设f(x)=x1+x2+2x3+2x2x3-x2-x3,取点x=)1,1,1(.验证)1()1(min)1()1(
10、d=(1,0,-1)是f(x)在点x处的一个下降方向,并计算f(x+td)t>0T证明:Ñf(x)=2(x3,x2+2x-4,1x+2x-)112332TÑf(x1)=)5,4,2(2dÑf()=(1,0,-1)4=-3<0x15)1()1(所以d是f(x)在x处的一个下降方向)1()1(f(x+td)=f((1+t,1,1-t))222=(1+t)+1+21(-t)+1(2-t)-1-1(-t)=3t-3t+4)1()1(Ñf(x+td)=6t-3=0所以t=0.5>0min)1()1(所以f(x+td)=3*0.25-3*0.5+4=3.25t>0四、设,,(j=1,2
11、,….,n)考虑问题abciiincjMinf(x)=∑=j1xj2ns.t.∑j=1ajxj=bxj³0(j=1,2,….,n)1)写出其KuhnTuker条件2112)证明问题最优值是nb[∑j=1(ajcj)2]解:1)因xj(j=1,....,n)为目标函数的分母故xj>0*所以lj(j=1,…,n)都为0所以KuhnTuker条件为Ñf(x)+mÑh(x)=0c1-2x1a1-c22a2即x+m=02MMacnn-2xncj2)将xj=代入h(x)=0只有一点maj2nb得∑nacjj=b⇒m=2j=1n(∑
12、acjj)j=1n∑j=1ajcjcj故有xj=baj211n2所以最优解是∑j=1(acjj).b五、使用KuhnTuker条件,求问题22minf(x)=(x1-)1+(x2-)23x2-x1=1s.t.x1+x2=2x1³,0x2³0的KuhnTuker点,并验证此点为问题的最优解**解:x=(1/2,3/2)¹0故l1,l2=0则Ñf(x)+m1Ñh1(x)+m2h2(x)=02x1-2-11即+m1+m2=02x2-411⇒m=0,m=-1122202*2*而f(x)=Ñgx()=0Ñg(x)=0Ñ1202
13、2*2*Ñhx1()=0Ñhx2()=0,*2**2**2**2**2*2*Hx()=Ñfx()+l1Ñgx1()+l2Ñg2(x)+m1Ñhx1()+m2Ñhx2()=Ñfx()*TT13Tx(){=y
14、Ñhy1=0Ñhy2=0}={y
15、-y1+y2-=10y1+y2-=20}=,22T2故xÑf(x)x=8>0,即其为最优解.第二章*一、设f(x)为定义在区间[a,b