正方形半角性质及运用举例.pdf

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1、正方形“半角”性质及应用举例■徐骏性质1:如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AD，CD边∠GBH=∠BAH=45°，∠BHG=∠AHB，得△BHG∽△AHB，上的一点(点E不与点A，D重合)，且∠EBF=45°，BE，BF分别则∠BGH=∠ABH=∠BFM，又∠GBH=∠FBE，得△BGH∽222交AC于点G，H，则AG+CH=GH．S△BGH=(BO)2=(槡2)2=1，所以S=△BFE，故△BGHSBM22△BFE1S．2△BEF图1图2证明:如图2，把△ABG沿BE翻折后，得到△PBG，连结PH，

2、则△PBG≌△ABG，所以∠BPG=∠BAG=45°，∠PBG=∠ABG，PG=AG，BP=BA=BC，又∠HBC=∠ABC－∠EBF图5图6－∠ABG=45°－∠PBG=∠HBP，BH=BH，则△BPH≌性质3:若在图1中，连结DG，FG，EH，DH(如图6)，则△BCH(SAS)，所以∠BPH=∠BCH=45°，PH=CH，则∠GPH∠BGF=∠BHE=90°，DG=BG=FG，DH=BH=EH．22222=∠BPG+∠BPH=90°，所以PG+PH=GH，即AG+CH证明:由∠GBH=∠FCH=45°，∠

3、BHG=∠CHF，可得2=GH．BHGHBHCH△BGH∽△CFH，则∠BGH=∠CFH，=，即=，CHFHGHFH性质2:若在图1中，连结EF，过点B作BM⊥EF于点M(如又∠BHC=∠GHF，故△BCH∽△GFH，则∠CBH=∠FGH，11图3)，则BM=×△DEF的周长，S△BGH=S△BEF．22于是∠BGF=∠BGH+∠FGH=∠CFH+∠CBH=90°，∠BFG=90°－∠FBG=45°=∠FBG，所以BG=FG．由AB=AD，∠BAG=∠DAG，AG=AG，得△ABG≌△ADG(SAS)，则DG=

4、BG=FG．同理可得∠BHE=90°，DH=BH=EH．例1(2012年山东东营，有改动)如图7，在四边形ABCD中，AD∥BC(BC＞AD)，∠B=90°，AB=BC，E是AB上图3图4一点，且∠DCE=45°，BE=2，△ADE的证明:如图4，把△ABE沿BE翻折后，得到△MBE，连结周长为12，则DE=．FM，则△MBE≌△ABE，所以∠BME=∠BAE=90°，∠MBE分析:如图8，过点C作CF⊥AD，交=∠ABE，ME=AE，BM=BA=BC，又∠FBC=∠ABC－AD的延长线于点F．易证四边形ABC

5、F图7∠EBF－∠ABE=45°－∠MBE=∠FBM，BF=BF，则△BMF为正方形，由性质2可知DE=BE+DF，则正方形ABCF的边长≌△BCF(SAS)，所以∠BMF=∠BCF=90°，MF=CF，于是△ADE的周长∠BME+∠BMF=180°，所以E，M，F三点共线，此时BM⊥EF，==6，AE=4．2故EF=ME+MF=AE+CF，从而可得△DEF的周长=AD+设DE=x，则DF=x－2，AD=8－x．在Ｒt△ADE中，AE21+AD2=DE2，即42+(8－x)2=x2，解得x=5，故DE的长为CD

6、=BA+BC=2BM，所以BM=×△DEF的周长．25．如图5，连结BD，交AC于点O，则BD⊥AC，BO=槡2BA=若在图8中，连结BF，分别交CE，CD于点G，H(如图9)，则21111S=S=S=××ED×BA=×5×四边形DEGH△CGH2△CDE224槡2BM．由BM=BC，BF=BF，得Ｒt△BFM≌Ｒt△BFC(HL)，则2156=．∠BFM=∠BFC．由AB∥CD，得∠ABH=∠BFC=∠BFM．由2·4·图8图9例2如图10，在正方形ABCD中，点E，F分别是AD，CD边图14图15上的一点(

7、点E不与点A，D重合)，且∠EBF=45°，BE，BF分别∠EFG=∠AFC，FG交AB于点D．交AC于点G，H，连结FG，过点F作FN⊥AC于点N．求证:GN=由性质1可知，因为点F为以AB为斜边的等腰直角三角形1AC．12的直角顶点，且满足∠CFD=∠AFE=∠AFB=45°，从而可2222得AC+BD=CD，所以点D就是所求作的点．例4(2010年宁夏，有改动)如图16，在△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，BD=2，CD=3，则AD=．图10图11分析:由性质3可知∠BGF=90°，BG

8、=FG．如图11，连结BD，交AC于点O，则∠BOG=90°，BO=1BD，BD=AC．2由FN⊥AC，可得∠GNF=90°=∠BGF，即∠NGF+图16图17∠GFN=∠NGF+∠BGO，可得∠GFN=∠BGO，又∠GNF=分析:如图17，把△ABD和△ACD分别沿AB，AC翻折后，得∠BOG=90°，GF=BG，则△GNF≌△BOG(AAS)，所以GN=到△ABE和△ACF，分别延