物理习题中的辅助圆.pdf

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1、物理辅助圆之等时圆专题巧构辅助圆妙解物理题浙江海盐元济高级中学(314300)王建峰浙江海盐高级中学(314300)马永芬解物理习题时,若能巧借辅助圆,将会产生意想不到的效果。辅助圆按其作用与功能可分为“矢量圆、等时圆、等势圆、动态圆、谐振圆”。本文试想通过几例来阐述辅助圆在解题中的妙用。1矢量圆矢量即有大小,又有方向,且运算时满足平行四边行法则。在矢量的合成与分解中若能借助“矢量圆”就能有效地化繁为简,并能加深对矢量概念的理解。D例1一条宽为L的河流,水流速为u,船在静水中划行的速度为v,且v<u。要使船到达对岸的位移最短,船的航向如何?11v解析水流速u、

2、船在静水中的速度v与船的合速度v构成一矢量LvAθ三角形,且船在静水中的速度v大小不变,方向不定,构建如图1所示u的矢量圆。显然,当AD与矢量圆相切时,船航行的位移最短。由图可v图1得船的航向与河岸的夹角arccos。u2等时圆如图2所示,竖直放置的圆环,若物体从最高点沿各光滑弦加速下滑,其下滑R4R的时间相等,且时间t(R为圆环的半径,g为重力加速度),这样的圆环称g之为“等时圆”。在解决有关动力学问题时,恰当地构建等时圆不但能化解难点,而图2且能激发学生的解题思维。例2两光滑斜面的高度都为h,OC、OD两斜面的总长度都为l,只是OD斜面由两部分组成,如图3

3、所示,将甲、乙两个相同的小球从斜面的顶端同时由静止释放,不计拐角处的能量损失,问哪一个球先到达斜面底端?解析(解法vOO1)本题往往采用甲甲v-t图象求解,作乙VC乙A出物体分别沿OC、OD斜面运动B的v-t图象(如图Ctt甲C所示4),由图象D乙tD图3图4图5可得乙球先到达斜面底端。(解法2)构建如图5所示的等时圆,交OC于A点,交OD于B点。由“等时圆”可知,。tOAt0B由机械能守恒定律可知:vBvA,vCvD,所以vBDvAC。又因为两斜面的总长度相等,所以sBDsAC,s根据v得,tBDtAC,所以有t甲t乙,即乙球先到达斜面底端。t3等势圆点电荷

4、的等势面是以点电荷为圆心的圆面组成,这样的圆面称之为“等势圆”。借用等势圆来解题能化1难为易。例3(2002年江苏等省理综第30题)如图6所示,直角三角形的斜边倾角为30°,底边BC长为2L,处在水平位置,斜边AC是光滑绝缘的,在底边AA中点O处放置一正电荷Q,一个质量为m,电DD量为q的带负电的质点从斜面顶端A沿斜边滑下,滑到斜边上的垂足D时速度为v。则:该质点运动到非常挨近斜边底端C点时速度vc为多。少?没斜面向下的加速度ac为多少?BOCBQC解析点电荷沿斜面AC下滑时,电场力图6图7在不断变化,无法利用动能定理及能量守恒关系直接列式求解,从而使解题陷入

5、困境。由几何关系可引入图7所示的等势圆,由于D、C二点位于同一等势圆上,电荷从D运动到C电场力做功为零,只有重力做功,所以电荷在D点的机械能与C点的机械能相等,即:121202NmvCmvDmgCDsin30vCv3gl22对电荷在C点受力(如图8所示),由牛顿第二定律得:Qq13kQqmgsin30k2cos30macaCg2L,解得:22ml。图84动态圆y带电粒子进入匀强磁场,若带电粒子的速度大小、方向不定,则粒子在磁场中作一系列圆心、半径在时刻变化的“动态圆”,构建系列动态圆能化俗为奇。o例4半径为R=10cm的圆形匀强磁场,区域边界与y轴相切于坐标x

6、原点,磁感应强度B=0.332T,方向垂直纸面向里。在原点O处有一放射α6源S,可沿纸面向各个方向射出速率均为v3.210m/s的α粒子,已2719知已知α粒子的质量为m6.6410Kg,电量q3.210c,试确定α粒子通过磁场的最大偏向角。图9解析α粒子在磁场中作半径为r的匀速圆周运动,可得:276mv6.64103.210r19m20cmqB3.2100.332从而可构建一系列半径为20cm并交于O点的旋转动态圆(如图9所示),由各动态圆不难得到要使α粒子的偏向角最大,必然α粒子在磁场区域内的弦最长。R0所以α粒子的最大偏向角2arcsin60r例5核聚变

7、反应需要几百万度以上的高温,为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内(否则不可能发生核反应),通常采用磁约束的方法(托卡马克装置)。如图10所示,环状匀强磁场围成中空区域,中空区域中的带电粒子只要速度R1R2r1不是很大,都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场的内半径为R1=0.5m,外半径R2=1.0m,磁场的磁感强度B=1.0T,若被束缚带电粒子的荷质比7图10为q/m=4×10C/㎏,中空区域内带电粒子具有各个方向的速度。试计算(1)粒子沿环状的半径方向射入磁场,不能穿越磁场的最大速度。2(2)所有粒子不能穿越磁场的最大速度。解析(1)粒

8、子沿环状的半径方向射入磁场,在磁场区域

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