电磁场理论答案 中科大.pdf

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1、中国科学技术大学电子科学与技术系电磁场理论1、矢量分析1-1.（教材1-1）设܎ൌܔܖ

2、ܚԦ

3、，求f。解：11rԦrො׏fൌ׏rൌൌrrrr1-2.（教材1-2）设܎ൌ૚ܚ，求f。解：െ1െ1rԦെrො׏fൌ׏rൌൌrଶrଶrrଶ1-3.（教材1-3）证明સܚܖൌܖܚܖି૛ܚԦ。证明：rԦ׏r୬ൌnr୬ିଵ׏rൌnr୬ିଵൌnr୬ିଶrԦr1-4.（教材1-4）证明સ૛ሺ૚ܚሻൌ૙ሺܚ്૙ሻ。证明：1rԦ∂x∂y∂zrଶെ3xଶrଶെ3yଶrଶെ3zଶ׏ଶൌെ׏·ቆቇൌെ൬൅൅൰ൌെቆ൅൅ቇrrଷ∂xrଷ∂yrଷ∂zrଷrହrହrହ3rଶെ3rଶൌെቆቇൌ0rହ1-

4、5.（教材1-5）证明સ·ሺܚԦܚ૜ሻൌ૙ሺܚ്૙ሻ。证明：rԦ113333׏·ቆቇൌ׏·rԦ൅׏·rԦൌെ׏r·rԦ൅ൌെrො·rԦ൅ൌ0rଷrଷrଷrସrଷrସrଷ1-6.（教材1-6）证明સൈሺસ܎ሻൌ૙。证明：xොyොzො∂∂∂∂f∂f∂fተተ׏ൈሺ׏fሻൌ׏ൈ൬xො൅yො൅zො൰ൌ∂x∂y∂z∂x∂y∂zተተ∂f∂f∂f∂x∂y∂z∂ଶf∂ଶf∂ଶf∂ଶf∂ଶf∂ଶfൌxොቆെቇെyොቆെቇ൅zොቆെቇൌ0∂y∂z∂y∂z∂x∂z∂x∂z∂x∂y∂x∂y1-7.（教材1-7）证明સ·൫સൈۯሬሬԦ൯ൌ૙。证明：1/45中国科学技术大学电子科学与技术系电磁场理论

5、∂A୸∂A୷∂A୸∂A୶∂A୷∂A୶׏·൫׏ൈAሬԦ൯ൌ׏·ቈxොቆെቇെyො൬െ൰൅zොቆെቇ቉∂y∂z∂x∂z∂x∂y∂ଶA∂ଶA∂ଶA∂ଶA∂ଶA∂ଶA୸୷୸୶୷୶ൌെെ൅൅െൌ0∂x∂y∂x∂z∂x∂y∂y∂z∂x∂z∂y∂z1-8.（教材1-8）证明સ൫ۯሬሬԦ·۰ሬሬԦ൯ൌ൫۰ሬሬԦ·સ൯ۯሬሬԦ൅൫ۯሬሬԦ·સ൯۰ሬሬԦ൅۰ሬሬԦൈ൫સൈۯሬሬԦ൯൅ۯሬሬԦൈ൫સൈ۰ሬሬԦ൯。证明：׏൫AሬԦ·BሬԦ൯ൌ׏൫AሬԦୡ·BሬԦ൯൅׏൫AሬԦ·BሬԦୡ൯ൌAሬԦୡൈ൫׏ൈBሬԦ൯൅൫AሬԦୡ·׏൯BሬԦ൅BሬԦୡൈ൫׏ൈAሬԦ൯൅൫BሬԦୡ·׏൯AሬԦൌAሬԦ

6、ൈ൫׏ൈBሬԦ൯൅൫AሬԦ·׏൯BሬԦ൅BሬԦൈ൫׏ൈAሬԦ൯൅൫BሬԦ·׏൯AሬԦ1-9.（教材1-13）证明સሺ܎ሻൌሺસ܎െ܎સሻ૛ሺ്૙ሻ证明：׏ሺfgሻൌ׏ሺfୡgሻ൅׏ሺfgୡሻൌf׏ሺ1gሻ൅ሺ1gሻ׏fൌെfgଶ׏g൅ሺ1gሻ׏fൌሺg׏fെf׏gሻgଶ1-10.（教材1-14）૛܌૛܎૛܌܎（1）证明સ܎ሺܚሻൌ൅܌ܚ૛ܚ܌ܚ（2）求܎ሺܚሻ，使સ૛܎ሺܚሻൌ૙解ଶ୤୤୰ሬԦమ୤୰ሬԦ୰ሬԦ୤୰ሬԦమ୤୤ப୶ப୷（1）׏fሺrሻൌ׏·׏fൌ׏·ቀ׏rቁൌ׏·ቀቁൌ·൅׏·ൌ൅ቀ൅൅୰୰୰୰మ୰୰୰୰୰మ୰ப୶୰ப୷୰ப୸మ୤୤୰ି୶మ୰୰ି୷మ୰୰ି୸

7、మ୰మ୤ଶ୤ቁൌ൅ቀ൅൅ቁൌ൅ப୸୰୰మ୰୰మ୰మ୰మ୰మ୰୰మ୤ଶ୤（2）ൌെ୰మ୰୰dfCᇱൌdrrଶCଵfሺrሻൌ൅Cଶr1-11.（教材1-15）证明સൈሺ܎સ܎ሻൌ૙。证明：׏ൈሺf׏fሻൌ׏ൈሾfୡ׏f൅fሺ׏fሻୡሿൌfୡ׏ൈ׏f൅׏fൈሺ׏fሻୡൌf׏ൈ׏f൅׏fൈ׏fൌ0૒ۻ૒ۼ1-12.（教材1-16）证明平面格林定理式ׯቀെቁ܌ܠ܌ܡൌׯሺۼ൅ܠ܌ۻ܌ܡሻ可以写成ܛ૒ܠ૒ܡरර׏·BሬԦdsൌරBሬԦ·nොdℓୱℓ形式，求出۰ሬሬԦ与M，N的关系。解：有BሬԦ·nොdℓൌMdx൅Ndy，且nොdℓൌെdxyො൅dyxොபNபM再考虑׏·BሬԦൌെப

8、୶ப୷2/45中国科学技术大学电子科学与技术系电磁场理论则可令BሬԦൌNxොെMyො1-13.（教材1-17）证明在一般正交曲线坐标系中સ૛܎的展开式ଶ1∂hଶhଷ∂f∂hଵhଷ∂f∂hଵhଶ∂f׏fൌ൤൬൰൅൬൰൅൬൰൨hଵhଶhଷ∂uଵhଵ∂uଵ∂uଶhଶ∂uଶ∂uଷhଷ∂uଷ证明：1∂f1∂f1∂f׏fൌuොଵ൅uොଶ൅uොଷhଵ∂uଵhଶ∂uଶhଷ∂uଷ1∂∂∂׏ଶfൌ׏·ሺ׏fሻൌ൤ሺhଶhଷሺ׏fሻଵሻ൅ሺhଵhଷሺ׏fሻଶሻ൅ሺhଵhଶሺ׏fሻଷሻ൨hଵhଶhଷ∂uଵ∂uଶ∂uଷ1∂hଶhଷ∂f∂hଵhଷ∂f∂hଵhଶ∂fൌ൤൬൰൅൬൰൅൬൰൨hଵhଶhଷ

9、∂uଵhଵ∂uଵ∂uଶhଶ∂uଶ∂uଷhଷ∂uଷ1-14.（教材1-18）证明સ·ܚԦൌ૜，સൈܚԦൌ૙证明：∂∂∂׏·rԦൌx൅y൅zൌ3∂x∂y∂zxොyොzො∂∂∂׏ൈrԦൌተተൌ0∂x∂y∂zxyz1-15.在圆柱坐标系、圆球坐标系中分别计算拉梅系数，并写出梯度、散度、旋度的表达式。解：圆柱坐标系中，xൌρcosφቊyൌρsinφzൌzhଵൌඥcosଶφ൅sinଶφൌ1hଶൌඥρଶsinଶφ൅ρଶcosଶφൌρhଷൌ1∂Φ஡φෝ∂Φ஦∂Φ୸׏Φൌρො൅൅zො∂ρρ∂φ∂z1∂∂∂1∂1∂∂׏·AሬԦൌ൤൫ρA஡൯൅A஦൅ሺρA୸ሻ