电动力学 第一章 习题解答.pdf

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1、华中师大陈义成第一章习题解答1．1根据算符∇的微分性质与矢量性质，推导下列公式：KKKKKKKKKK（1）∇()()()AiiiBB=×∇×+ABAA∇+×∇×+()()BAB∇KKK1KK2（2）A×∇×=∇−()AA()Ai∇A2KK解：以∇K表示仅对矢量A微分，∇K表示仅对矢量B微分。由∇的微分性质：ABKKKKKK∇=()()()AiiiBA∇+KKBA∇BAB由附录（I.28）,根据∇的矢量性质，有KKKKKK∇=KK()(AiiBA×∇×BA)()+∇K×BBBBKKKKKKKK∇=K

2、K()()(AiiBB∇=ABA×∇K×)()+Bi∇KAAAAA略去微分算子∇的下标，得KKKKKKKKKK∇()()()AiiiBB=×∇×+ABAA∇+×∇×+()()BAB∇KK令上式中A=B，得KKKKK2∇=×∇A2()()⎡⎤⎢⎥AA×+∇AiA⎣⎦即KKK1KK2A×∇×=∇−()AA()Ai∇A2K或用矢量性质，并注意∇只对括号内的一个A求微分，则有KKK11KKKKKK2A×∇×=∇()()()AAiiA−A∇=∇−AA()Ai∇A221.2设u是空间坐标x、y、z的函数，证明

3、KKdfKdAKdA∇=∇f()uu，∇=iiA()uu∇，∇×A()uu=∇×dududu∂∂∂KKK证：∇=f()uf()ufi+()ufj+()uk∂∂∂xyzd()dfuuKKd()dfuud()dfuuK=++ijkdduxdduydduzKKK式中i、j、k分别是沿x、y、z方向的单位矢量。此即d∇=f()uf()u∇udu另外-1-华中师大陈义成K∂∂∂∇=iA()uA()uA+()uA+()uxyz∂∂∂xyzKd()Aux∂∂∂uuud()Auyd()AuzdA=++=∇iudd

4、dux∂∂∂uyuzduKKdA所以∇=iiA()uu∇du而K⎛⎞∂∂AA∂∂AAK⎛⎞∂∂AAK⎛⎞K∇×Ai=⎜⎜⎜⎜zz−yy⎟⎟⎟⎟+⎜⎜xx−⎟⎟j+−k()u⎜⎜⎜⎜⎟⎟⎟⎟⎜⎟⎝⎠∂∂yzz⎝⎠∂∂xx⎝⎠∂∂y⎛⎞ddAA∂∂uuddAAKK⎛⎞ddAA∂∂uu⎛⎞∂∂uuKi=−+−+−⎜⎜⎜⎜zzyy⎟⎟⎟⎟⎜⎜xx⎟⎟jk⎜⎜⎜⎜⎟⎟⎟⎟⎜⎟⎝⎠dduyuz∂∂⎝⎠dduzux∂∂⎝⎠dduxuy∂∂KdA=∇×udu222KKK1.3设rx=−+−+−()()()xy′′

5、′yzz为源点x′到场点x的距离,r的方向规定为从源点指向场点．K∂∂∂KK(1)证明下列结果，井体会对源变数求微商(∇=′eeexyz++)与对场变∂∂∂x′′′yzKKK∂∂∂数求微商()∇=eeexyz++的关系．∂∂∂xyzKKKKrrrr∇=−∇=rr′，∇×=0，∇⋅=−∇⋅′=0(r≠0)333rrrrKKK(2)求∇⋅r,∇×r,其中r为位置矢量．解：K∂∂∂rrrKKKx−−−xy′′′KyzKKzr∇r=++eee=++eee=xyzxyz∂∂∂xyzrrrrK∂∂∂rrrKK

6、Kx−−−xy′′′KyzKKzr∇=′reee++=−eee−−=−xyzxyz∂∂∂x′′′yzrrrrKr所以∇=−∇=rr′rKr⎛⎞11⎛⎞而∇×=∇×−∇⎜⎜⎜⎜⎟⎟⎟⎟=−∇×∇≡0rrr3⎜⎜⎝⎠⎟⎟⎝⎠-2-华中师大陈义成Kr即∇×=03rK∇=r∇−⎛⎞⎛⎜⎜∇=11⎟⎟−∇2⎞ii⎜⎜⎟⎟rrr3⎜⎜⎝⎠⎝⎟⎟⎠在球坐标系中∇=2211∂∂⎡⎢⎥⎢⎥⎛⎞⎜⎜11⎟⎟⎤⎡⎤=∂2⎛−=11⎞∂−=rr⎜⎜⎟⎟(1)0rrrrrrr22∂∂⎢⎥⎢⎥⎜⎜⎝⎠⎟⎟∂⎝r2⎠rr2∂⎣

7、⎦⎣⎦同理KKKr21rr∇=′i∇=0，∇=ii∇=′0333rrrrK∂∂∂xyz（2）∇=++=ir3∂∂∂xyz∇×=rK⎛⎞⎜⎜⎜⎜∂∂zy−⎟⎟⎟⎟⎟eeeKKK+⎜⎛⎞⎜∂∂xz−⎟⎟+⎛⎞∂∂yx−⎟=0⎜⎜⎜⎜⎝⎠∂∂yz⎟⎟xyz⎜⎝⎠∂∂zx⎟⎝⎠∂∂xy→→⎛⎞KK1→→→→1.4已知TI=−ε⎜⎜EEE2⎟⎟，其中I为单位张量，试证明0⎜⎝⎠2⎟→→KKKK∇=∇−×iiTε⎡EEE()()∇×E⎤0⎣⎦证明：→→⎡⎤KK1→→2∇=∇−∇iiiTIε⎢⎥EE()E0⎢⎥

8、⎣⎦2⎡⎤KKKK11→→→→22=∇+∇−∇−∇ε⎢⎥()()iiEEEEEiiIIE0⎢⎥⎣⎦22→→→→→→22因为I是单位张量，有∇=EiI∇E，并考虑到∇=iI0，上式可写成→→⎡KKKK1⎤2∇=∇+∇−∇iiiTε⎢()()EEEEE⎥0⎢⎣2⎥⎦利用矢量分析公式题1.1(2)的结果：KKK1KK2A×∇×=∇−()AA()Ai∇A2KK上式右边第二、三项可合写成−×∇×EE()，于是→→KKKK∇=∇−×iiTε⎡EEE()()∇×E⎤0⎣⎦1.5已知一个电荷系统的