电动力学(数学基础).pdf

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1、电动力学习题课（一）Feb20th,20091特特特殊殊殊函函函数数数与与与爱爱爱因因因斯斯斯坦坦坦求求求和和和约约约定定定1)Kroneckerdelta函数±ij:½1i=j±ij=(1.1)0i6=j2)Levi-civita张量"ijk:8<1[ijk]是偶置换，即ijk=123;231;312"ijk=¡1[ijk]是奇置换，即ijk=213;132;321(1.2):0otherwise3)爱因斯坦求和约定：公式中重复指标自动求和，略去求和号。X3AiBi´AiBi(1.3)i=1注注注意意意：：：以上的定义只适用于平直空间，而不适用于弯曲空间（广义相对论考虑的空间）。

2、Levi-civita张量的性质：²Levi-civita张量对于下标反称："ijk=¡"jik²下标重复，Levi-civita张量为0："iik=0¯¯¯¯±im±in¯¯²单重求和："ijk"mnk=±im±jn¡±in±jm´¯±±¯jmjn²两重求和："ijk"mjk=±im±jj¡±ij±jm=3±im¡±im=2±im²三重求和："ijk"ijk=2±ii=62标标标量量量，，，矢矢矢量量量和和和张张张量量量的的的引引引入入入2.1定定定义义义讨论物理量是标量还是矢量的大前提是物理规律的协协协变变变性性性，即描述物理规律的方程在惯性系变换下形式不变。由于运动总是在四维

3、时空中进行，所以不妨设四维空间惯性系的变换为：0x¹=a¹ºxº(2.1)那么物理量可按如下分类：1²标量C：不同惯性系变换下的不变量。²矢量A~：由四个分量组成，且不同惯性系变换下按如下方式变换的量：A0=aA¹¹ºº~~0²二阶张量T：由十六个分量组成，不同惯性系变换下按如下方式变换的量：T¹º=a¹¸aº±T¸±²类似可以知道n阶张量的定义。注注注意意意：：：这里所提到的惯性系之间的变换并没有特指某种坐标变换，比如说伽利略变换或者洛伦兹变换。2.2从从从伽伽伽利利利略略略变变变换换换到到到洛洛洛伦伦伦兹兹兹变变变换换换在19世纪末，很多人都认为经典力学是完美的，这是因为经典力

4、学的基本方程Lagrange'sEqua-tion在伽利略变换下是协变的。我们首先来验证这一点。为了简单，我们考虑下面的变换：½x0=x+vt0(2.2)t=t从Eq.(2.2)可以得到：@@=(2.3)@x0@x@@@=¡v+(2.4)@t0@x@t进一步，可得：@x0@x=(2.5)@t0@t注注注意意意：：：Eq.(2.5)并不表示不同参考系下的速度相等，因为速度是位移对时间的全微分。又经典力学的时间观是绝对的，其数学表示为：dd=(2.6)dt0dt综合Eq.(2.3,2.5,2.6)可知：d@L0@L0d@L@L()¡=()¡=0(2.7)dt0@x_0@x0dt@x_@

5、xEq.(2.7)说明Lagrange'sEquation在变换Eq.(2.2)下是协变的。然而由麦克斯韦方程组推出的达朗贝尔方程：@2'½2r'¡¹0²0=¡(2.8)@t2²0显然在伽利略变换下是不协变的，那么现在的问题就是如果承认伽利略变换，麦克斯韦方程组就是错误的；如果承认麦克斯韦方程组，伽利略变换就是不正确的。Einstein选择了后者，用洛伦兹变换取代伽利略变换作为惯性系之间变换，进而建立了狭义相对论。也许你会问：四维时空除了上面两类变换，还有别的变换么？幸运的是数学上可以严格证明R4只有两种微分结构。23正正正交交交曲曲曲线线线坐坐坐标标标系系系3.1基基基本本本概概

6、概念念念定定定义义义：：：三维空间R3，如果8p2R3，9一组独立、连续、单值函数：u1=f1(x;y;z);u2=f2(x;y;z);u3=f3(x;y;z)(3.1)并且其反函数x='1(u1;u2;u3);y='2(u1;u2;u3);z='3(u1;u2;u3)(3.2)也独立连续单值，则称(u1;u2;u3)为p点的曲曲曲线线线坐坐坐标标标(CurvilinearCoordinates)，f(u1;u2;u3)g为一一一般般般曲曲曲线线线坐坐坐标标标系系系。在曲线坐标系中，位置矢量为~r(u1;u2;u3)，那么微分线元为：d~`´d~r=~a1du1+~a2du2+~a

7、3du3(3.3)如果8~r，~a1;~a2;~a3两两垂直，则称此曲线坐标系为正正正交交交曲曲曲线线线坐坐坐标标标系系系(OrthogonalCurvilinearCoordinates)。下面考虑正交曲线坐标系的微分线元和基矢：d~`´e^xdx+^eydy+^ezdz(3.4)@'1@'1@'1@'2@'2=^ex(d¹1+d¹2+d¹3)+^ey(d¹1+d¹2@¹1@¹2@¹3@¹1@¹2@'2@'3@'3@'3+d¹3)+^ez(d¹1+d¹2+d¹3)(