空间两异面直线的公垂线方程的求法.pdf

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1、高等数学研究VOI.10，NO.26STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICSMar.，2007解题方法与技巧＊空间两异面直线的公垂线方程的求法许孟（南京理工大学应用数学系南京210094）摘要介绍了求空间中两异面直线公垂线方程的四种解法关键词异面直线；公垂线；直线方程；平面中图分类号0182.2大多数《解析几何》教材中在研究空间中两直线的相关位置时，首先是给出两直线相关位置判别的充分必要条件，然后研究各自相关位置的特征性质.对异面直线来说，所具有的特征性质就是x-x1y-y1z-z1公垂线和两异面直线间的距离.若已知

2、两直线l1和l2的方程为l11==，X1Y1Z1x2-x1y2-y1z2-z1x-x2y-y2z-z2l21X=Y=Z，则两直线l1与l2异面的充要条件是A=X1Y1Z1222X2Y2Z2一0.我们知道与两条异面直线l1和l2都垂直相交的直线l叫做两异面直线的公垂线.那么如何求出这条公垂线l的方程呢？比较通行的教材都是给出下面的解法四，而其他的解法则不再介绍.其实，另外三种解法更基本，也容易入手，只是求解的表述烦琐些.我们不妨举例说明.［1］xyz+1x-1y-1z-1例求两异面直线：l11==与l21==的公垂线方程.1-101

3、10x-x0y-y0z-z0解法一（定义法）设所求公垂线l的方程为==，即它过其上任意点XYZ、、M（x0，y0，z0），且以U=｛X，Y，Z｝作方向矢量.因为直线l1过点M（10，0，-1），以U1=｛1，-1，0｝、为方向矢量，直线l2过点M（21，1，1），以U2=｛1，1，0｝为方向矢量，所以，由公垂线定义有：、、1）U·U1=0，即X-Y=0；-x0-y0-1-z0一、、、2）（MM1，U，U1）=0，即XYZ=0；1-10、、3）U·U2=0，即X+Y=0；1-x01-y01-z0一、、、4）（MM2，U，U2）=0，

4、即XYZ=0.110-10011-1由1）、3）知X1Y1Z=11=01012，｛X，Y，Z｝）｛0，0，1｝，这也即100111、、、U可以取为U1U2.于是，不妨取X=Y=0；Z=2.代入2）知：x0+y0=0；代入4）知：x0-y0=0.100111从而x01y01z0=11=0101（-2）.故，我们不妨取x0=y0=0；z0=--10011-1＊收稿日期：2005-12-31第lO卷第2期许孟：空间两异面直线的公垂线方程的求法7xyz+2x=O2.因此，所求公垂线l的方程为==.它实际上就是z轴{.OOly=Ox-xOy

5、-yOz-zO解法二（定义法）设所求公垂线l的方程为==，即它过其上某一点XYZ、M（xO，yO，zO），且以1=｛X，Y，Z｝作方向矢量.我们不妨假设点M是直线ll与直线l的交点，于是有xyz+l、OOO==，即l）xO+yO=O；zO=-l.因为直线ll过点M（lO，O，-l），以1l=｛l，-l，O｝l-lO、、、为方向矢量，直线l2过点M（2l，l，l），以12=｛l，l，O｝为方向矢量，所以，由公垂线定义知，2）1·1l、、-lOOll-l=O；3）1·12=O.即X-Y=O与X+Y=O.如上，求出X=Y=Z===lOO

6、lll=O=O=2；不妨取X=Y=O；Z=l.又因为点M在直线l上，也在由直线l2和直线l所构成的平x-ly-lz-lxO-lyO-lzO-l、面!2=llO=O上，所以llO=O（也可以看作三矢量M2M，XYZXYZ、、12，1共面），即4）xO-yO=O.结合l），有xO=yO=O；zO=-l，即点M（O，O，-l）.故，所求公垂线xyz+lx=Ol的方程为==.它实际上就是z轴{.OO2y=O解法三（两点式）设点P（lxl，yl，zl）、点P（2x2，y2，z2）分别是直线ll与直线l、直线l2与直线xlylzl+lx2-l

7、y2-lz2-ll的交点，于是有l）==；2）==.如解法二，求出xl=yl=O；l-lOllOzl=-l，即点Pl的坐标为（O，O，-l）.同理，类似地求出点P2的坐标为（O，O，l）.故由直线的两点x-Oy-Oz-（-l）xyz+l式方程表示式，所求公垂线l的方程为==，即==，它实际上就O-OO-Ol-（-l）OOlx=O是z轴{.y=O解法四（一般方程）因为公垂线l既垂直相交于直线ll，又垂直相交于直线l2，所以公垂线l、、、可以看作由过直线ll上点M（lO，O，-l），以1l=｛l，-l，O｝，1l>12为方位矢量的平面

8、!l与过直、、、线l2上点M（2l，l，l），以12=｛l，l，O｝，1l>12为方位矢量的平面!2的交线.、、-lOOll-l于是，由解法一知，1l>12={，，}=｛O，O，2｝）｛O，O，l｝.所以，平面lOOlllxyz-lx-ly-lz-