边界条件齐次化辅助函数的统一形式.pdf

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1、高等数学研究Vo.l9,No.352STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICSMay,2006*边界条件齐次化辅助函数的统一形式刘德朋(杭州电子工业学院理学分院杭州310018)摘要用分离变量法求解数理方程混合问题时,要求其第一、二、三类边界条件必须是齐次的.若为非齐次的,必须寻求恰当的辅助函数w(x,t),进行变换将其化为齐次的.本文从稳定条件下的线性非齐次边界条件出发,给出了w(x,t)的统一形式,进而将其推广到非稳定条件下的非齐次边界条件,得到w(x,t)的一般的结果.关键词非齐次边界条件齐次化稳定非稳定中图分类号O175.21引言数学物理方程中,

2、利用分离变量法求解一维有界域上输运方程和波动方程混合问题时,要求其相应的边界条件(第一、第二、第三或混合边条件)必须是齐次的.如果边界条件是非齐次的,必须[1]设法将其化为齐次的.齐次化的关键在于恰当地选取辅助函数w(x,t),去做未知函数变换.而w(x,t)的具体形式要由非齐次边界条件的具体类型去确定,但寻求w(x,t)的传统的方法难度较大,且其形式不具普遍性,本文将根据w(x,t)的选取原则,给出各种线性非齐次边界条件齐次化时,w(x,t)的统一形式,这自然是有意义的.考虑一维热传导方程混合问题2ut=auxx+f(x,t)(00)(1)[2]mu

3、x(0,t)-nu(0,t)=K(t)(t)(2)(1)[2]pux(l,t)+qu(l,t)=L(t)(t)(3)u(x,0)=U(x)(0[x[l)其中f(x,t)、U(x)、K(t)、L(t)均为已知的可微函数,mn,pq,且,p+qX0由式(2)、(3)可知:m=p=0nqX0(4)n=q=0mpX0(5)mnpqX0(6)分别为第一、第二、第三边界条件,而m=q=0npX0(7)m=0npqX0(8)p=0mnqX0(9)q=0mnpX0(10)n=p=0mqX0(11)n=0mpqX0(12)分别为左1右2(即左端第一类边界条件、右端第二

4、类边界条件,以下同)、左1右3、左3右1、左3右2、左2右1和左2右3混合边界条件.为使(1)中的式(2)、(3)化为齐次边界条件,寻求辅助函数w(x,t)做变换:u(x,t)=v(x,t)*收稿日期:2003-12-23,修改稿:2004-03-28第9卷第3期刘德朋:边界条件齐次化辅助函数的统一形式53+w(x,t),使v(x,t)满足的定解问题中,其边界为齐次的,这一过程称为非齐次边界条件的齐次化.[3]w(x,t)的选取原则应是让它与u(x,t)有相同的边界条件.2稳定的线性非齐次边界条件齐次化的辅助函数的统一形式稳定条件下的线性边界条件式(2)、(3)中的

5、边值函数,此时与时间t无关,不妨令其为:mux(0,t)-nu(0,t)=K(13)pux(l,t)+qu(l,t)=L(14)这里K,L为常数.为寻求w(x,t),可令其为w(x),仅与空间变量x有关,即令:u(x,t)=v(x,t)+w(x)(15)将式(15)代入式(1)、(13)及(14),得:122[vt-avxx-f(x,t)]=wd(x)(16)a[mvx(0,t)-nv(0,t)]+[mwc(0)-nw(0)]=K(17)[pvx(l,t)+q(l,t)]+[pwc(l)+qw(l)]=L(18)让w(x)与u(x,t)有相同的边界条件,有mwc(0

6、)-nw(0)=K(19)pwc(l)+qw(l)=L(20)则v(x,t)的边界条件就化为齐次的了.由式(16),其两端相等,令其为常数k,得wd(x)=k(21)211当k=0时,得w(x)=Ax+B(22)将式(19)、(20)代入式(22),解出A、B后,确定出qK+nLmKw(x)=(x+)-(23)mq+np+nqlnn可以验证,式(23)是对应于具体线性非齐次边界条件(4)、(6)、(7)、(8)、(9)及(10)的辅助函数的统一式.212当kX0时,得:k2w(x)=x+cx+D(24)2为求使式(5)、(11)及(12)齐次化的w(x)形式更简单,

7、可令D=0,将式(19)、(20)代入式(24)解出k、c后,确定出:mL-pK-Kql2Kw(x)=x+x(25)ml(2p+ql)m可以验证,式(25)是对应于具体线性非齐次边界式(5)、(11)及(12)的辅助函数w(x)的统一式.213由211及212得线性非齐次边界条件齐次化辅助函数w(x)的统一形式为:qK+nLmK(x+)-(nX0)mq+np+nqlnnw(x)=(26)mu-pK-Kql2Kx+x(mX0)ml(2p+ql)m54高等数学研究2006年5月3非稳定的线性非齐次边界条件齐次化的辅助函数的统一形式如果线性非齐次边界条件是不稳定的,则